определение оптимальной тактики
матожидание в преферансе
большинство практических задач расчёта вероятностей определённого
расклада, нужного прикупа и т.д. можносвести к следующей общей схеме
в генеральной совокупности, состоящей из n шаров, имеются m белых и n-m чёрных шаров
из этой совокупности берётся выборка в r [r < n] шаров (без учёта порядка
шаров в выборке)
нужно найти вероятность q того, что такая выборка содержит ровно k белых шаров [k < r]
(т.о., выборка должна содержать k белых и r-k чёрных шаров
k белых шаров могут быть выбраны (m, k) различными способами,
а остальные чёрные шары - (n-m, r-k) способами
здесь (.., ..) - биномиальные коэффициенты
любой способ выбора k белых шаров может комбинироваться с любым
способом выбора r-k чёрных шаров
вероятность q, что такая выборка содержит ровно k белых шаров:
(m, k) * (n-m, r-k) / (n, r)
----------------------------------
вы взяли прикуп, сделали снос, на руках шесть старших карт в пике и AKQx в трефе
(трефа не сносилась). какова вероятность того, что у одного из партнёров на руках
четвёртый валет треф?
m = k = 4 ; n = 20 ; r = 10
2 * (4, 4) * (16, 6) / (20, 10) = 0.09
вероятность расклада удваивается, поскольку вам всё равно, у кого из
партнёров будет четвёртый валет треф
вы хотите объявить Мизер. для того чтобы он был "чистым", нужно купить одну из
семи "заказных" карт. какова вероятность, что вы купите нужную карту?
(7, 1) * (15, 1) / (22, 2) + (7, 2) / (22, 2) = 0.55
вероятность выигрыша Мизера q = 0.55
при сыгранном Мизере вы запишете в пулю 100. фактический выигрыш
составляет 75 вистов (при расчётах
матожидания выигрыша предполагается, что фактический выигрыш
составляет 3/4 от записи в пулю. это при
игре вчетвером, а при игре втроем - 1/3 от записи в пулю)
если Мизер не сыгран - без одной (вероятность этого события 0.45), то вы
запишете за одну взятку 100 на гору, проигрыш составит также 75 вистов
матожидание выигрыша:
В = 75 * 0.55 - 75 * 0.45 = 7.5 виста
на такой карте Мизер нужно объявлять
колода сдана, у трёх игроков по десять карт, ещё две лежат в прикупе.
карты распределяются равномерно:
в среднем по 3.3 взятки у каждого. поэтому всех беспокоит один и тот же
вопрос: вступить в торговлю или
спасовать. какое решение лучше? если на руках шесть гарантированных
взяток (без карт прикупа) и вы на
первой руке от сдающего, - смело вступайте в торговлю. но чаще всего
такой ясности нет и правильное
решение - не очевидно
например, у вас на руках 4–5 гарантированных взяток, а прогноз на
распасовку не ахти. можно сказать "раз",
но если прикуп не усилит вашу карту, то вы сядете на гору. можно
спасовать, но партнёры тоже спасуют и
будет разыгрываться распасовка. 5–6 взяток на распасовке - тоже не
подарок
для принятия правильного решения необходимо оценить ожидаемый
выигрыш и проигрыш как в случае, если
вам дадут играть, так и при возможной распасовке
вы на третьей позиции, партнёры спасовали, на руках шесть
гарантированных взяток (с прикупом может быть
и больше). но одновременно ваша карта очень удобна для распасовки. что
выгоднее - брать игру или играть
распасовку?
или, например, началась конкурентная торговля со вступившим в борьбу
противником. продолжать торговлю
или спасовать, уступив ему прикуп и право заказать контракт? в
пределах силы ваших карт (гарантированного
числа взяток) сомнений нет, торгуйтесь. но противник не уступает. что
делать дальше? продолжая торговлю,
вы можете "купить" удачный прикуп и сыграть свою игру. а можете
заторговать противника, и он сядет на
гору. но возможен и третий, неблагоприятный исход - противник
прекратил торговлю, вы берёте прикуп, а он
не усиливает вашу карту, "не ваш"
разумные решения лежат в узком интервале - торговаться в пределах
реальной силы ваших карт или добавить
к гарантированным взяткам ещё одну в надежде на прикуп или расклад
ВНИМАНИЕ! никогда не заторговывайтесь на ДВЕ взятки!
если противник вступил в торговлю, то скорее всего у него карта с одной
или двумя сильными
мастями. вероятность прикупить взятки к вашей карте в этих мастях
существенно уменьшается. в то же
время увеличивается вероятность купить дополнительные взятки в ваших
сильных мастях. к сожалению,
теория вероятностей не позволяет оценить эти изменения
количественно. это как раз тот случай, когда для
принятия оптимальных решений нужно учитывать игровой опыт
вы сделали в торговле максимальную заявку. сдающий отдаёт вам в
светлую две карты прикупа. нужно снести
две карты, заказать контракт/играть Мизер. нужно снести две самые
ненужные карты. как их определить? если
у вас на контракте в одной из мастей только две младшие карты (или на
мизере две старшие), их чаще всего
можно снести. но обычно такой ясности нет, правильное решение не
очевидно
если вы на первой руке, - при определении оптимального сноса
достаточно воспользоваться вероятностными
оценками. однако ситуация существенно меняется, если контракт
играется на второй или третьей позиции
прежде всего нужно позаботиться не о лишней взятке, а о безопасности
контракта, чтобы противники не
отняли ваших "гарантированных" взяток, убивая неиграющим козырем
ваши старшие карты, при самом косом
раскладе карт. при определении лучшего сноса на второй и третьей руке
вы должны также учитывать манеру
игры партнёров - их привычки существенно влияют на выбор сноса. по
возможности, разнообразьте сносы
и манеру игры - партнёры не должны угадывать ваши решения. это
затруднит выбор правильных решений при
игре против вас и повысит ваши шансы на выигрыш
снос сделан, нужно объявить контракт. если вы торговались на пределе
силы карты, закажите самый низкий
из возможных контрактов. проблема оптимального решения возникает,
если ваша карта после прикупа и сноса
сильнее достигнутого уровня торговли. оценить гарантированные взятки
не сложно. оптимальное решение
нужно принимать при оценке реальных взяток в различных раскладных
комбинациях карт. критерий здесь
единственный - максимальное матожидание выигрыша при длительной игре
в подавляющем числе розыгрышей у "играющего" имеется на руках четыре
– реже пять козырей. смотря только
в свои карты, он, "играющий", раздумывает, как разделились между
"вистующими" отсутствующие у него
козыри. ведь, чтобы объявить свою игру, надо ему рассчитать, сколько
надеется он взять взяток, а это, в свою
очередь, зависит от того, как распределились козыри у партнеров. если у
них четыре, то возможны три варианта:
- четыре на одной руке
- разделились на три и один
- разделились поровну: два и два (мечта "играющего")
если у "играющего" пять козырей, то у "вистующих" возможностей две:
- либо три на одной руке
- либо два и один
для подсчета вероятностей надо считать число комбинаций
пусть у меня - "играющего" - на руках ТК87 козырей. у моих партнеров -
Петра Ивановича (П.И.) и Николая
Васильевича (Н.В.) - ДВ09. как они разложились - неизвестно. если мне
очень не повезло, т.е. все отсутствующие
у меня четыре козыря оказались на одной руке, то они могут быть либо у
П.И., либо у Н.В. это два случая. козыри
могут разделиться и так: у П.И. один из четырех, у Н.В. три. таких случаев,
конечно, четыре. еще четыре случая
имеется, когда один из козырей находится у Н.В., а три у П.И. и шесть
вариантов появляется, когда козыри
распределяются пополам: ДВ; Д0; Д9; В0; В9; 09 (множить на 2 не надо, так как,
если дама и валет у П.И., то десятка
и девятка у Н.В. и т.д.). всего случаев шестнадцать. следовательно,
вероятность наскочить на вариант,
когда все козыри на одной руке - 2/16 (1/8). осторожные игроки при крупной
игре считаются с возможностью
такой неприятности. а хорошие игроки в нормальной игре ею
пренебрегают. но и рассчитывать на то, что
козыри разделились пополам, они тоже не станут, ибо вероятность этого
события 6/16 (3/8) все же меньше
половины. подавляющее большинство опытных игроков, назначая игру,
предполагают, что наиболее вероятный
расклад не хуже, чем "три - один". и они правы, так как в 14 случаях из 16 (6
случаев расклада пополам и 8 случаев
расклада "три - один") недостающие козыри разложатся благоприятно.
вероятность такой ситуации - 14/16 (7/8)
если у "играющего" на руках пять козырей, назначение игры в большой
степени зависит от его темперамента,
ибо вероятность наткнуться на три козыря на одной руке равна 1/4.
действительно, из всех 8 вариантов (2 –
по три козыря, 3 - по одному козырю и 3 - по два козыря) вероятность
такого события равна 2/8 (1/4)
для преферансиста интересен расклад не только козырей, но и второй
масти. рассмотрим случай, когда у
"играющего" на руках две масти по четыре карты. одна масть козырная,
другую, как говорят, надо разыграть,
то есть постараться и на ней взять побольше взяток. и в этом случае
решающим является расклад карт, но
теперь обеих мастей по рукам "вистующих" партнеров. как назначить
игру? с какими раскладами следует
считаться?
комбинации карт (одна масть черная, вторая красная), которые могут
очутиться на одних руках "вистующих",
рассчитываются следующим образом: четыре карты распределяются 16
способами. а на каждую комбинацию
черной масти приходится 16 вариантов распределения красных карт. всего
же вариантов будет 256. какие
комбинации могут быть? ну прежде всего поистине трагическая, когда
четыре черные и четыре красные на
одной руке. таких будет две: все восемь карт или у П.И., или у Н.В. их
вероятность очень мала 2/256 (1/128), и
заядлые преферансисты вспоминают такие проигрыши (а они бывают) как
кошмар и на них не рассчитывают. а
какова вероятность самого желанного для "играющего" расклада, то есть
по две черные и две красные карты
на каждой руке "вистующих"? так как для одной масти таких комбинаций
шесть, т.е. всего 36. вероятность
этого благоприятного исхода равна 36/256 (1/7). на такой вариант опытные
игроки, разумеется, также не
рассчитывают. остается среднее
волнующий момент игры в преферанс - приобретение прикупа. прикуп -
это 2 закрытые карты из 32. "свои"
карты - их 10 - преферансисту известны, а 2 карты (прикуп) из 22 он должен
"угадать". в каждом отдельном
случае игрок делает свой расчет. все зависит от того, какие карты у
него на руках и на что он рассчитывает,
торгуясь за прикуп
положим, он надеется купить пятого козыря к своим четырем. среди 22 не
его карт 4 не его козыря. значит,
вероятность лежащей в прикупе карты быть козырем 4/22, а не быть им - 18/22.
две карты лежат рядышком рубашкой
кверху. возможны четыре случая:
- та, что слева, - нужный ему козырь - та, что справа, козырь - обе карты
козырные - нет в прикупе козырей
по теореме умножения вероятности этих событий равны:
4/22 * 18/22 = 0.15 - 18/22 * 4/22
= 0.15 - 4/22 * 3/21 = 0.03 - 18/22 * 17/21
= 0.67
а это дает в сумме, разумеется, единицу. какая карта слева, какая
справа, игроку все равно. так что шанс
у него на удачу равен 0,33. как, стоит ему рисковать?
есть такое выражение - "прикупная карта". пусть у нашего "героя" на
руках по три "сильные" карты трех
мастей и одна карта из четвертой масти, скажем, из пик. достаточно ему
приобрести одну любую (кроме
пики), чтобы получилась выигрышная игра. среди 22 не его карт 7 пиковой
масти (у него одна), следовательно,
вероятность пики 7/22, вероятность любой из карт других мастей - 15/22. его
погубит лишь один вариант - в
прикупе 2 пики: вероятность этого случая (7/22 * 6/21), т/е/ около 0.09, а значит,
91% его покупка будет удачной и
ему есть смысл рисковать
много важнее правильно назначить игру (в соответствии с теорией
вероятностей); правильно выбрать тактику
игры; играть столь совершенно, чтобы каждый ход был верным (согласным с
теорией вероятностей), нежели
быть удачливым в прикупе или в раскладе карт у "вистующих". значит,
выигрыш в преферансе не зависит от
случая? нет, зачем такое крайнее суждение. зависит. но только тогда,
когда партнеры одинаково хорошо или
одинаково плохо играют. поэтому, если Петр Иванович и Николай
Васильевич встречаются с одними и теми
же равными им по умению партнерами по субботам и проворачивают пару
пулек, то результат такой игры за
долгий срок будет нулевым: случай вступит в свои права и уравняет
выигрыши и проигрыши. что же касается
систематического выигрыша, то он может быть лишь в том случае, если
один игрок играет лучше другого. а
"лучше" - это значит, что он сознательно или благодаря большому опыту,
правильно оценивает вероятность
расклада карт, вероятность прикупа нужной карты и прочие вероятности
раскладов
1. матожидание на Мизере в зависимости от покупки одной или двух
"своих"
+------------+---------------+---------------+------------+
|расклад |#карт |вероятность |матожидание |
| |обеспечивающих |покупки хотя бы|выигрыша в |
| |выигрыш Мизера |одной "своей" |вистах |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 789JK | | | |
| 789J | 11 | 0.76 | 39 |
| A | | | |
| - | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 7890A | | | |
| 789A | 11 | 0.76 | 39 |
| K | | | |
| - | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 7890JQK | | | |
| 7 | 7 | 0.55 | 7.5 |
| 7K | | | |
| - | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 7890JQKA | | | |
| 7K | 6 | 0.48 | -3 |
| - | | | |
| - | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 7890JQKA | | | |
| K | 5 | 0.41 | -13.5 |
| 8 | | | |
| - | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 789 | | | |
| 789 | 14 | 0.50 | -10 |
| 7K | | | |
| 7K | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 789 | | | |
| 789 | 14 | 0.50 | -8 |
| 7J | | | |
| 7K | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 7890В | | | |
| 789 | 11 | 0.39 | -28 |
| 7A | | | |
| K | | | |
+------------+---------------+---------------+------------+
| 789 | | | +3 |
| 789 | 14 | 0.56 | -32 (для |
| 78 | | | возможного |
| JQ | | | паровоза) |
+------------+---------------+---------------+------------+
2. вероятность получения дополнительной взятки
+--------------+----+----+----+----+-----+----+-----+----+----+----+
| комбинация |AQ0 |AQx |KJ9 |KJx |AJ09 |Axxx|KQ09 |KQxx|QJ9 |QJx |
+--------------+----+----+----+----+-----+----+-----+----+----+----+
|вероятность | | | | | | | | | | |
|доп.взятки |0.60|0.33|0.79|0.60|0.67 |0.42|0.67 |0.54|0.51|0.18|
+--------------+----+----+----+----+-----+----+-----+----+----+----+
3. значения граничных вероятностей при решении проблемы заказа
+---------------------+--------+-------+------+-------+
| контракт | 10-9 | 9-8 | 8-7 | 7-6 |
+---------------------+--------+-------+------+-------+
|граничная вероятность| 0.082 | 0.089 | 0.1 | 0.097 |
+---------------------+--------+-------+------+-------+
|матожидание выигрыша | 59.3 | 38.5 | 21.3 | 10.6 |
+---------------------+--------+-------+------+-------+
4. вероятности распределения оставшихся карт одной масти
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| #карт в | у | у | | |
| масти |играющего|вистующих|распределение|вероятность|
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| 6 | AQJ1098 | K7 | 2:0 | 0.47 |
| | | | 1:1 | 0.53 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| 5 | AKJ109 | Q87 | 3:0 | 0.21 |
| | | | 2:1 | 0.79 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| | | | 4:0 | 0.09 |
| 4 | AKQ7 | J1098 | 3:1 | 0.50 |
| | | | 2:2 | 0.42 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| | | | 5:0 | 0.03 |
| 3 | AK10 | QJ987 | 4:1 | 0.27 |
| | | | 3:2 | 0.70 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| | | | 6:0 | 0.01 |
| 2 | AQ | KJ10987 | 5:1 | 0.13 |
| | | | 4:2 | 0.49 |
| | | | 3:3 | 0.37 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| | | | 7:0 | 0.00 |
| 1 | A |KQJ10987 | 6:1 | 0.05 |
| | | | 5:2 | 0.29 |
| | | | 4:3 | 0.65 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
| | | | 8:0 | 0.00 |
| | | | 7:1 | 0.02 |
| 0 | - |AKQJ0987 | 6:2 | 0.15 |
| | | | 5:3 | 0.48 |
| | | | 4:4 | 0.35 |
+----------+---------+---------+-------------+-----------+
5. вероятность не получить взятку на Мизере в масти с "дыркой"
+-----------+----+----+----+-----+----+----+----+----+----+
|Комбинация |79JA|79QA|79KA|79QKA|79QK|79Q |79K |710 |710J|
| карт | | | | | | | | | |
+-----------+----+----+----+-----+----+----+----+----+----+
|Вероятность| | | | | | | | | |
|отсутствия |0.91|0.73|0.42|0.79 |0.73|0.78|0.40|0.97|0.54|
| взятки | | | | | | | | | |
+-----------+----+----+----+-----+----+----+----+----+----+
6. вероятности распределения двух мастей между двумя руками
+-------+-------------+-------+
| игрок | вистующие |вероятн|
+-------+-------------+-------+
| | 3:0 3:0 | 0.01 |
| | 3:0 2:1 | 0.07 |
| 5:5 | 3:0 1:2 | 0.99 |
| | 3:0 0:3 | 0.04 |
| | 2:1 2:1 | 0.29 |
| | 2:1 1:2 | 0.33 |
+-------+-------------+-------+
| | 4:0 3:0 | 0.00 |
| | 4:0 2:1 | 0.02 |
| | 4:0 1:2 | 0.04 |
| | 4:0 0:3 | 0.02 |
| 4:5 | 3:1 3:0 | 0.03 |
| | 3:1 2:1 | 0.17 |
| | 3:1 1:2 | 0.22 |
| | 3:1 0:3 | 0.07 |
| | 2:2 3:0 | 0.08 |
| | 2:2 2:1 | 0.33 |
+-------+-------------+-------+
| | 3:0 2:0 | 0.03 |
| | 3:0 1:1 | 0.11 |
| 5:6 | 3:0 0:2 | 0.07 |
| | 2:1 2:0 | 0.16 |
| | 2:1 1:1 | 0.42 |
| | 2:1 0:2 | 0.21 |
+-------+-------------+-------+
| | 2:0 2:0 | 0.09 |
| 6:6 | 2:0 1:1 | 0.25 |
| | 2:0 0:2 | 0.14 |
| | 1:1 1:1 | 0.28 |
+-------+-------------+-------+
| | 2:0 4:0 | 0.01 |
| | 2:0 3:1 | 0.09 |
| | 2:0 2:2 | 0.20 |
| 6:4 | 2:0 1:3 | 0.15 |
| | 2:0 0:4 | 0.03 |
| | 1:1 4:0 | 0.04 |
| | 1:1 3:1 | 0.26 |
| | 1:1 2:2 | 0.22 |
+-------+-------------+-------+
| | 5:0 5:0 | 0.00 |
| | 5:0 4:1 | 0.00 |
| | 5:0 3:2 | 0.00 |
| | 5:0 2:3 | 0.01 |
| | 5:0 1:4 | 0.01 |
| 3:3 | 5:0 0:5 | 0.00 |
| | 4:1 4:1 | 0.01 |
| | 4:1 3:2 | 0.06 |
| | 4:1 2:3 | 0.11 |
| | 4:1 1:4 | 0.06 |
| | 3:2 3:2 | 0.23 |
| | 3:2 2:3 | 0.27 |
+-------+-------------+-------+
| | 4:0 4:0 | 0.00 |
| | 4:0 3:1 | 0.01 |
| | 4:0 2:2 | 0.03 |
| | 4:0 1:3 | 0.03 |
| 4:4 | 4:0 0:4 | 0.01 |
| | 3:1 3:1 | 0.09 |
| | 3:1 2:2 | 0.21 |
| | 3:1 1:3 | 0.16 |
| | 2:2 2:2 | 0.18 |
+-------+-------------+-------+
| | 5:0 4:0 | 0.00 |
| | 5:0 3:1 | 0.00 |
| | 5:0 2:2 | 0.01 |
| | 5:0 1:3 | 0.01 |
| | 5:0 0:4 | 0.01 |
| | 4:1 4:0 | 0.00 |
| | 4:1 3:1 | 0.04 |
| 3:4 | 4:1 2:2 | 0.11 |
| | 4:1 1:3 | 0.10 |
| | 4:1 0:4 | 0.03 |
| | 3:2 4:0 | 0.02 |
| | 3:2 3:1 | 0.14 |
| | 3:2 2:2 | 0.30 |
| | 3:2 1:3 | 0.20 |
| | 3:2 0:4 | 0.04 |
+-------+-------------+-------+