винеровский процесс


курс "случайных процессов" отличается от "классического теорвера" тем, что время принимает вещественные значения, а не дискретные. там, где в теорвере есть последовательность случайных величин X1,X2,X3,…, перенумерованных натуральными числами (т.е. вектор, который может быть очень большим по размеру, но все же конечным), в стохастических процессах говоря о "случайном процессе", мы пишем {Xt:t>0},t∈ℝ (т.е. поток, который может быть и бесконечным)

обычно в теорвере имеются в виду марковские процессы, когда распределение вероятности для Xn определяется значением Xn-1, но могут быть и немарковские процессы, когда распределение для Xn зависит от всей предыстории (которая удлиняется по мере "старения" наблюдения)

в случае случайных процессов с непрерывным временем есть нетривиальная проблема: допускаются к рассмотрению и "бесконечности"

например, можно рассматривать случайные величины, принимающие ВСЕ вещественные значения, никаким числом не ограниченные. или наоборот, можно рассматривать процессы, в описании которых условия накладываются на бесконечное число событий, скажем, считать вероятность того, что бесконечная серия бросков честной моменты содержит лишь конечное число "орлов" (и на этот счёт есть очень красивый закон "нуля или единицы" Колмогорова: вероятность таких "бесконечно-определённых" событий может быть лишь нулём или единицей)

теория дискретных процессов (по очевидным внутренним причинам, связанным с теорией меры) допускает только "самые маленькие бесконечности", счётные. а в теории с непрерывным временем предыстория величины XТ состоит из НЕСЧЁТНОГО множества событий {Xt:0<t<T}, и тем самым по определению мы не можем в качестве "исходной информации" использовать всё прошлое процесса. максимум, что разрешается делать - выбрать каким-то образом один или несколько моментов 0<t1<t2<t3<…<tn<Т в прошлом (зависящие от T) и требовать чего-то от условной вероятности

типовое (простейшее) условие - формула, описывающая условное распределение величины Xt, зная реализацию Xs для любого момента s<t. в этом случае распределение для Xt должно явным образом зависеть от "лага" t-s : чем он меньше, тем (как мы ожидаем) более распределение будет сконцентрировано в точке Xs, в пределе стремясь к δ-функции, сидящей в этой точке; если это не так, то процесс может с положительной вероятностью совершать скачки, нарушающие непрерывность

другое возможное условие - распределение зависит только от разности t-s, а не от значений t и s по отдельности

но в любом случае какая-то закономерность должна быть

есть удивительные процессы, которые вписываются в рассматриваемую схему. самым знаменитым таким процессом является т.н. винеровский процесс, он же (в одномерном случае) - случайное блуждание по прямой ℝ, обычно обозначаемый Wt после всех нормировок

математически это условие выглядит так: мы постулируем, что зная Xs, распределение для Xt при s<t - нормальное (гауссиана, bell-curve) с математическим ожиданием, равным Xs (чему ж ещё?) и среднеквадратичным уклонением t-s

оказалось, что такой процесс в самом деле существует и он обладает целым набором изумительных свойств

например, с вероятностью 1 реализация винеровского процесса - непрерывная функция w(t), но с той же вероятностью - она нигде не дифференцируема. вот Вейерштрассу пришлось попотеть, чтобы привести пример хотя бы одной такой функции, в попытках рассеять предрассудки предыдущего века, а здесь нам на халяву выдают колоссальное количество таких примеров

физическое описание винеровского процесса тоже не слишком трудно для восприятия

на прямой лежит шарик большой (единичной) массы, а вдоль прямой носятся с разными скоростями туда и сюда сумасшедшие крошечные молекулы, часть из которых пролетает "мимо" (или "сквозь"), не взаимодействуя с шариком, но некоторые таки налетают на наш шарик (гигантскую массу в их масштабах) и отлетают от него почти с той же скоростью, с которой налетели. при этом шарику передаётся почти удвоенный импульс налетевшей молекулы, и от этого он чуть-чуть меняет свою скорость, но делает это "скачком" (скорость меняется разрывным образом, хотя величина скачка и крошечная). сделав естественные предположения о распределении скоростей налетающих молекул, мы получим естественные формулы для броуновского движения

винеровский процесс навылет пробил сердца физиков. отныне почти любой "случайный шум" физики стали записывать как "добавку" к уравнениям классической физики (хоть электрические цепи, хоть траектории артиллерийских снарядов) в виде подходящим образом нормированного винеровского процесса. как если б ничего другого не может быть в природе. а оно есть, точно так же, как есть жизнь в классическом теорвере "за пределами Гаусса" (которому верить иногда нет никаких оснований, как бы нам этого ни хотелось)

например, можно сильно ослабить набор условий винеровского процесса, оставив лишь условие, что матожидание Xt равно матожиданию Xs при s<t, без уточнения, как выглядит распределение, и какие у него "моменты" (в частности, вероятности скачков на ненулевое расстояние) - получаем обобщение, которое называется мартингал

математикам - раздолье: можно изучать с точки зрения (недо)гладкости реализации "с вероятностью единица" случайных процессов в разных предположениях

есть разные меры "негладкости": например, для функции одной переменной можно рассматривать её "полную вариацию" (для функций, дифференцируемых почти всюду, это попросту интеграл от абсолютного значения производной), - конечна она или нет. эта "полная вариация" есть предел суммы приращений функции по подинтервалам. если мы заменим приращения их квадратами (гораздо меньшими, чем сами малые приращения), то возникает новый класс функций… зато насколько проще будет жизнь всем: никакого тебе геморроя с несуществованием производных или возможными скачками процесса. скачки везде, если не языком болтать, - считайте вероятности скачков разной величины, никакой тебе грани между конечной и бесконечной вариацией, есть конечные числа, больше или меньше

Ахтунг! всё сказанное имеет смысл, если мы обсуждаем функции вещественной переменной t∈ℝ. как только мы переходим к дискретной шкале, где есть "минимальный шаг", все предыдущие рассуждения теряют смысл