теорема Гирсанова


ясно, что положение центра масс системы тяжелых точек в пространстве зависит не только от координат самих точек, но также и от их масс, и что, меняя распределение одной и той же массы между точками, можно перемещать центр масс, не двигая сами точки. обобщая на случайные величины: понятно, что, меняя ВЕРОЯТНОСТНУЮ МЕРУ, можно менять матожидание случайной величины, не меняя её саму как поточечную функцию на вероятностном пространстве. для нормальных случайных величин очевидна формула, явно выражающая производную Радона-Никодима между старой и новой мерами, которая даёт желаемый сдвиг матожидания при переходе от одной меры к другой

от случайных величин к стохастическим процессам: добавляем декартово произведение всего, что имеется, на ось времени. вместо одной сигма-алгебры на вероятностном пространстве появляется фильтрация - семейство сигма-алгебр {F(t)}, параметризованное временем t и упорядоченное по включению (чем дальше в лес, тем больше информации); вместо измеримых случайных величин - адаптированные процессы, у которых в каждый момент t случайная величина X(t) измерима по отношению к сигма-алгебре F(t)

лирическое отступление: в анализе сигма-алгебры - это досадная техническая деталь, неизбежная для строгого изложения интеграла Лебега, но вообще неинтересная, как проверка инвариантности выкладок в локальных координатах для топологии многообразий. для теории вероятностей сигма-алгебры - главные действующие лица, даже когда они за сценой. я бы определил теорию вероятностей как теорию меры и анализ с упором на сигма-алгебры

производная Радона-Никодима между двумя взаимно абсолютно непрерывными вероятностными мерами P и Q в этой картине мира тоже становится процессом: M(t)=dQ/dP, рассматриваемыми как две меры на сигма-алгебре F(t). такой процесс имеет свойства martingale: не вдаваясь в технические детали, упомянем, что мартингалы образуют векторное пространство. если траектории мартингала непрерывны почти в каждой точке вероятностного пространства, то у них неограниченная вариация, зато конечная и ненулевая квадратическая вариация (предел сумм квадратов приращений по разбиениям на подынтервалы), и, стало быть, эти траектории суть непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции. и наоборот, если траектории мартингала имеют конечную вариацию, то они не могут быть непрерывными. главные теоремы в этой части - несколько подвидов разложения Дуба-Майера: каждый semi-martingale (элемент широкого класса процессов, у которых квадратическая вариация ограничена на почти каждой траектории) представляется единственным образом в виде суммы мартингала и "хорошего" процесса с ограниченной вариацией; это разложение зависит от вероятностной меры, в которой мы работаем

аналогом центрированной нормальной случайной величины в категории процессов является стандартное броуновское движение W(t), которое также есть канонический пример мартингала с непрерывными траекториями. аналогом нормальной случайной величины с произвольным матожиданием - броуновское движение с произвольным drift’ом, W(t)+f(t), где drift f(t) может сам быть случайным процессом, но обязательно с ограниченной вариацией - в простейшем случае, это детерминистическая дифференцируемая функция времени

теорема Гирсанова - нетривиальный аналог тривиального результата для нормальных случайных величин: если W(t) есть стандартное (т.е., с нулевым drift’ом) броуновское движение в заданной мере P, и мы хотим, чтобы процесс Z(t)=W(t)+f(t), оставаясь неизменной поточечной функцией на декартовом произведении вероятностного пространства и оси времени, оказался стандартным броуновским движением в новой мере Q, то искомая производная Радона-Никодима M(t)=dQ/dP выражается явно через исходные броуновское движение W(t) и тот самый drift f(t), который требуется устранить переходом от P к Q. для детерминистических функций f(t) это было доказано до Гирсанова (теорема Камерона-Мартина); он доказал это для достаточно "хороших" случайных процессов с ограниченной вариацией. более поздние обобщения распространяют этот результат на разные другие semi-martingales, в частности, не обязательно с непрерывными траекториями

общий смысл всей этой коллекции результатов - если у вас есть semi-martingale, составленный из суммы мартингальной компоненты (ненулевая квадратическая вариация и бесконечная вариация траекторий, если они непрерывны) и компоненты drift’а (конечная вариация), и если вам не нравится этот drift и вы хотите вместо него другой (например, нулевой) - пожалуйста, теорема Гирсанова конструктивно и в явном виде даёт вам производную Радона-Никодима для перехода в другую вероятностную меру, в которой все ваши желания исполняются. поскольку мы не только манипулируем бесконечномерными гауссовыми распределениями, но также, по Дубу и Майеру, каждый раз строго и корректно вычленяем нужную нам конечную часть из бесконечного целого - это выглядит, как мечта квантовой физики… :)

повернём к финансам. у нас есть возможность покупать и продавать огромное количество самых разнообразных ценных бумаг (акции компаний; облигации и различные долговые обязательства государства и частных фирм-должников; контракты по обмену валюты в будущем по заранее фиксированному курсу; страховые полисы, выплачивающие в случае банкротства конкретной компании; контракты на поставку нефти, газа и т.д.), цены которых флуктуируют, и мы хотим на этом заработать. сделаем очень существенное допущение, что у каждого такого объекта купли-продажи (назовём их assets) в каждый момент времени t есть единственная корректно определенная цена S(t), за которую его можно и купить, и продать. будем говорить, что существует arbitrage, если есть возможность гарантированно заработать деньги "из воздуха", покупая и продавая assets по их текущим ценам (например, если заранее известно, что цена чего-то - монотонная функция времени)

поскольку в торговле участвует большое количество агентов и каждый тянет одеяло на себя, имеет смысл предположить, что возможности для arbitrage, если даже и возникают, то надолго не задерживаются - биржевые демоны Максвелла их используют, что быстро приводит к их исчерпанию. поэтому следующее, самое существенное допущение - что арбитража нет вообще. это допущение - упрощающее (ибо существует, например, целая индустрия high-frequency trading, построенная на идее, что возможности для арбитража есть, но только на очень коротких интервалах времени - и её участники вполне неплохо зарабатывают), но оно позволяет построить равновесную, "адиабатическую" модель рыночной торговли

предположив, что арбитража не существует, мы сразу получаем, что цены наших assets не могут быть дифференцируемыми функциями времени с производной, отличной от нуля в любой момент: иначе мы бы видели, что цена прямо сейчас локально монотонна и будет оставаться монотонной ещё какое-то время, и могли бы сразу это использовать для арбитража

полное математическое описание предположения об отсутствии арбитража таково: существует вероятностная мера P (совершенно не обязательно совпадающая с распределением вероятностей событий в реальном мире) и положительный процесс N(t)>0, называемый французским словом numeraire, такие, что для каждого asset’а, который можно купить и продать на рынке, отношение S(t)/N(t) является мартингалом в мере P

легко видеть, что класс всех таких процессов S(t) (назовём их tradables) замкнут относительно взятия линейных комбинаций с постоянными, неслучайными коэффициентами - т.е., если мы образуем portfolio из нескольких таких tradables с фиксированным числом "акций" каждого, то суммарная стоимость такого portfolio тоже будет tradable. что более интересно - мы можем образовать portfolio с коэффициентами, которые сами суть случайные процессы, и результирующая линейная комбинация тоже будет tradable при условии, что эти коэффициенты, во-первых, адаптированы (как процессы), и, во-вторых, соответствуют тому, что называется self-financing trading strategy. смысл этого второго условия в том, что при перебалансировке нашего portfolio (это то, что происходит, когда число "акций" отдельных компонентов в нем меняются), мы не добавляем и не вынимаем деньги из него, а только продаем часть акций каких-то компонентов и на вырученные деньги сразу докупаем акции каких-то других компонентов, причём все транзакции происходят одновременно и по текущим в данный момент ценам каждого из компонентов. получается, что класс tradables замкнут относительно операций компоновки self-financing portfolios даже при условии их активной перебалансировки, если только коэффициенты этой перебалансировки адаптированы, т.е., вычисляются из наблюдённой до сих пор информации и не используют информацию из будущего, как например, будущие цены каких-либо assets

отсюда - важность этого класса: он содержит не только процессы цен каждой отдельной ценной бумаги, которую можно в любой момент купить или продать, но и суммарную стоимость каждого замкнутого (в смысле притока и оттока денег, т.е., self-financing) portfolio таких ценных бумаг, даже если его состав всё время активно меняется в зависимости от наблюдаемых изменений рыночных цен. (кстати, именно поэтому определение отсутствия арбитража, данное выше, имеет смысл: получается, что для каждого участника торговли его личное portfolio инвестиций тоже оказывается tradable, т.е., произведение numeraire на какой-то мартингал, вне зависимости от выбранной им стратегии - а значит, никто не может гарантированно выиграть, хитро выбирая, что и когда купить/продать.)

а теперь главное - следите за руками!

процесс numeraire N(t), очевидно, сам является tradable, потому что N(t)/N(t) = 1, а это мартингал. возьмём любой другой положительный tradable процесс B(t)>0, тогда R(t)=B(t)/N(t)> 0 есть положительный мартингал в мере P, и поэтому его нормирование M(t)=R(t)/R(0) является производной Радона-Никодима для какой-то другой меры Q, для которой dQ/dP=M(t) на сигма-алгебре F(t) для каждого t>=0. для любой tradable S(t) отношение S(t)/B(t) теперь является мартингалом в мере Q: значит, B(t) - это тоже numeraire, но уже для меры Q, а класс всех tradables остался инвариантен при переходе от одной пары (вероятностная мера, numeraire) к другой, в нашем примере от (P,N(t)) к (Q,B(t)). хотя класс всех tradables был определён через конкретную меру P и numeraire N(t), это определение на самом деле инвариантно

инвариантность класса всех tradables относительно выбора пары (вероятностная мера P, numeraire N(t)) не означает, что все такие пары равноценны и в их множестве нет выделенных точек - они есть. существует единственная положительная tradable с ограниченной вариацией, у которой мартингальная компонента в разложении Дуба-Майера равна нулю - соответствующий asset называют risk-free (или riskless) money market account, а вероятностную меру, соответствующую выбору этого asset’а в качестве numeraire, называют risk-neutral pricing measure. конкретные модели поведения интересующих нас финансовых величин обычно изначально формулируют в виде стохастических дифуров (SDEs) именно в этой risk-neutral мере

вся эта казуистика про разные numeraires и соответствующие им вероятностные меры имеет простую финансовую интерпретацию

если предположить, что все цены измеряются, например, в долларах, то отношение S(t)/N(t) - это цена одной "акции" asset’а S(t), выраженная в единицах цены одной акции numeraire N(t). условие отсутствия арбитража - то, что цены всех возможных asset’ов, выраженные в единицах цены numeraire, являются мартингалами в некой вероятностной мере, соответствующей этой numeraire; если мы заменяем эту numeraire на другую, то условие мартингальности остаётся таким же, но по отношению к другой мере. т.е., если мерять цены всех assets не в долларах, а в акциях Apple - то все эти относительные цены будут мартингалами в "вероятностной мере, соответствующей фирме Apple", а если измерять все цены в акциях Google - то в другой "мере фирмы Google", причём все эти меры абсолютно непрерывны относительно друг дружки. (специалисты могут здесь возразить, что это не совсем так, поскольку и Apple, и Google также платят дивиденды держателям своих акций, что несколько усложняет всю картину. для таких критиков оговорюсь, что эффектом от дивидендов я здесь сознательно пренебрегаю)

ну а при чём тут теорема Гирсанова? а вот, допустим, мы моделируем стохастическое поведение какой-то наблюдаемой величины, не обязательно tradable - это может быть процентная ставка (interest rate), текущий курс обмена валют и т.д. - и у нас из модельных, вне-математических соображений возникает SDE, выражающее стохастический дифференциал этого процесса, "толкаемый" стандартными броуновскими движениями в risk-neutral pricing measure P. у этого уравнения есть члены, соответствующие диффузии (в финансах говорят: volatility) и члены, описывающие drift этого процесса. мы можем применить теорему Гирсанова и переформулировать то же самое SDE в новой вероятностной мере, в которой drift искомого процесса становится равен нулю, т.е., процесс становится мартингалом. такое новое уравнение, как правило, гораздо проще решать - и в явном виде, и численно - но что это за новая мера и каков её смысл? во всех случаях, где этот трюк удачно применяется, можно явно указать numeraire, которой эта новая гирсановская мера соответствует - а значит, мы упростили уравнение, избавились от drift’а и заодно приобрели новые интегралы движения (свойственные мартингалам) всего лишь за счёт удачно принятого решения измерять цены не в долларах, а в единицах цены этой новой numeraire!

на практике, решая задачу нахождения стоимости какого-то сложного контракта, мы сплошь и рядом видим такой результат: наша модель не может прямо выразить искомую цену в долларах, но мы можем получить ответ в единицах цены какого-то конкретного asset’а, который нам пришлось взять в качестве numeraire - при этом, цену этого asset’а можно просто прочитать из текущей наблюдаемой картины цен на рынке в данный момент. гирсанов вряд ли мог предположить, что его достаточно эзотерический результат будет центральным звеном в методике, приносящей миллиарды долларов прибыли банкам и хедж-фондам

comments

>>> я бы определил теорию вероятностей как теорию меры и анализ с упором на сигма-алгебры.
я всегда, отвечая себе на этот вопрос, упирал на понятие независимости событий. верно ли, что независимость легко транслируется на язык сигма-алгебр? я что-то туплю

есть понятие независимых сигма-алгебр - вы его имеете в виду?

что-то в этом рассказе у меня вызвало ассоциацию с переходом к барицентрической системе координат в конечномерной динамической системе, в которой стоимость всех портфелей по "текущим ценам" локально постоянна

для полумартингалов, у которых не почти все траектории непрерывны, на фоне диффузии и дрифта осталась за кадром мера Леви, описывающая прыжки и прочих черных лебедей... или мы для простоты относим всю эту часть к диффузии?

я старался не упоминать диффузию, подразумевая, что, в принципе, прыжки также возможны. в разложении полумартингала (спасибо!) по Дубу-Майеру на мартингал + "хороший" (на самом деле, predictable) процесс ограниченной вариации, если исходный полумартингал не непрерывен, то и компоненты не обязаны быть непрерывными. там ещё есть замечательное ортогональное разложение мартингала на две части: одна непрерывная, но с бесконечной вариацией, а вторая, наоборот, с ограниченной вариацией, но унаследовавшая все прыжки родителя. а так вообще за кадром осталась масса всего, начиная с локальных мартингалов

введение numeraire запутывает картину. обычно, когда начинают рассказывать про финансы, рассматривают простой рынок: сток, бонд (деньги в банке), и две временные точки, "сейчас" и "завтра". wlog, можно предполжить, что доллар сегодня и завтра весят одинаково. пусть сток сейчас будет стоить $10, а завтра либо 20 с вероятностью 1>p>0, либо 2 с вероятностью q=1-p

теперь представьте, чт.е. еще и бумажка (derivative), которая заплатит вам $10, если сток будет стоить 20$ и заплатит вам 0$, otherwise. понятно, что эта бумажка имеет какую-то ценность. следовательно, вопрос, сколько за нее вы готовы заплатить сейчас?

казалось бы, ответ простой : 10$. но тут засада. никто не знает p. и не может знать. если бы мы знали, весь рынок сразу бы помер

если, например, 20p+2q<0, какой дурак купит такой сток? мы же точно знаем, чт.е. Bulls и Bears. Bulls думают, что p большая, a Bears - что q. т.е., у каждого трейдера своя p, или своя вероятностная мера. Numeraire (process (10 сейчас, 20p+2q завтра)) здесь вторичный продукт

прелесть финансовой теории в том, что несмотря на то, что у всех трейдеров свое p, они все согласны, что цена этой бумажки 40/9 долларов. почему? потому что мы постулируем absence of arbitrage в нашем рынке. аrbitrage - клeвая идея!

казалось бы, налицо противоречие. "отсутствие арбитража" - коллективная уверенность того, что "деньги из воздуха" не выкачать. говоря термодинамически, "система в равновесии". и тем не менее - все торопятся совершить какие-то сделки в расчёте заработать. на чём заработать? на том, что другие ошибаются в оценке будущих параметров/цен? не понимаю, почему демон Максвелла, невозможный в термодинамике, вдруг правит бал на бирже

модификация - это изменение процесса на множестве вероятности ноль, я правильно понимаю? (так же, как функции классов Lp определены с точностью до переопределения на множестве меры нуль)

модификация - это когда в каждый момент времени мы меняем значения процесса на своём множестве меры ноль (возможно, что и пустом). но так как всех моментов времени несчётно много, объединение таких множеств может быть чем угодно

вот, вы оцените, построение винеровского процесса в одну строчку: выберем любую последовательность Xk независимых стандартных нормальных величин, любой счётный ортонормальный базис fk(t) в сепарабельном L2(0,∞), и зададим изометрию (на свой образ) через W(fk)=Xk. тогда w(t)=W (индикатор интервала (0,t)) имеет все нужные свойства распределения, осталось либо выбрать непрерывную модификацию по Колмогорову-Ченцову, либо вернуться на шаг назад и начать со специального базиса в L2, с которым процесс будет сразу непрерывен по построению. всё

формальную конструкцию я понял, но смысл не даётся. (0,∞) - это ось времени t, правильно? в разложении индикаторной функции [0,t] по базису fk участвуют все функции, в частности, коэффициенты разложения зависят от того, как они ведут себя и при s>t, т.е., в от "будущего", и тем самым распределение для w(t) неявно зависит и от будущего? или я что-то путаю?

кстати, уж не знаю, технический ли это вопрос или нет: вероятностное пространство Ω, по которому пробегает теневая переменная "омега", - оно чем-нибудь ограничено, кроме того, что на нём бывают нетривиальные сигма-алгебры? кажется, что для вашего построения нужно "очень большое пространство"... впрочем, требование сепарабельности может быть неявным ограничителем размеров Ω

а какой "стандартный базис" в L^2(0,∞) имеется в виду?

вопрос мелким шрифтом: я считаю, что помню "функан" с университетских времён относительно прилично для человека, который никогда потом не сталкивался с реальным анализом кроме как на коллоквиумах. но мне явно не хватает тех знаний, которые, судя по вашим постам и комментам, нужны для работы со случайными процессами. что, все трейдеры перед началом работы должны осваивать тонкости слабой-* топологии для банаховых пространств, или есть какой-то "Краткий курс"?

про (не)зависимость от будущего: представьте себе два базиса из функций fk(t) и gk(t), соответственно, таких, что их начальные куски совпадают для всех t < T (это можно сделать, взяв два разных базиса на (T,∞) и приклеив один и тот же базис на (0,T) с нормализацией; непрерывность в точке склейки не обязательна). тогда два винеровских процесса, полученные из этих базисов, будут совпадать для всех t <= Т. значит, каузальность не нарушена

P.S. W(t) = kΣ Xk(ω) 0t fk(s) ds в смысле сходимости в L2 - где вы видите зависимость коэффициентов разложения от поведения элементов базиса при s > t?
Re:PS. ваша правда, я позабыл вспомнить про явный вид скалярного произведения в L2

вероятностное пространство должно быть достаточно богатым, чтобы на нём можно было построить счётное количество независимых нормальных случайных величин. впрочем, для этого, как и для большинства других применений, достаточно иметь всего лишь [0,1] с лебеговой мерой

вопрос о вероятностных пространствах достаточно принципиален. вероятностники, подобно платоновским узникам, предпочитают говорить о случайных переменных, проецируемых на стены их пещеры из идеального мира вероятностных пространств. оппозиция "случайные переменные - меры" восходит ко временам Лебега, Бореля и (несколько позже) Колмогорова, и ничуть не утратила своей актуальности. и по сей день подавляющее большинство вероятностников боятся теории меры и избегают ее. что касается сепарабельности (точнее говоря, стандартности) вероятностных пространств, то в некотором смысле любое сколько-нибудь "конструктивное" вероятностное пространство стандартно (точно так же, как и все разумные гильбертовы пространства сепарабельны). в частности, для вышеприведенного построения стандартных пространств вполне достаточно, поскольку счетное произведение стандартных пространств - стандартно

переход от дискретного времени к непрерывному ломает многие интуитивные вещи. в дискретном случае вся измеримость сводится к адаптивным последовательностям (Xn is Fn-measurable). например, последовательность предсказуемая (т.е., значение процессa завтра мы знаем сегодня), если она же сдвинутая по времени адаптивна к данной фильтрации. в случайных процессах главная конструкция - стохастический интеграл. опять же, для последовательностей все просто. "Martingale transform". берешь martingale-differences, домножаешь на предсказуемые коэффициенты, и их сумма – новый мартингал (почти)

в continuous time мы не можем рассматривать процесс как несчетное семейсто случайных величин. для построения стохастического интеграла, правильней думать о случайном процессе как о функции времени и омеги. соответсвенно, одной адаптивности не хватает. нужна прогрессивная измеримость. обьяснить на пальцах разницу между этими двумя понятиями непросто. и формальное описание предсказуемости намного сложнее

я заранее согласился с тем, что математически (и морально) непрерывное время может быть "правильней" дискретного. винеровский процесс - чудо природы, почти такое же, как комплексные числа, и он "работает" на всю катушку в чистой математике. сплошь да рядом существование какого-то аналитического объекта/эффекта доказывается тем, что вероятность его существования положительна (а то и просто равна единице), - это примерно как доказательство существования трансцендентных чисел гораздо проще построения каждого конкретного числа

но в практическом мире нет никаких чисел, кроме конечных десятичных дробей с ненадёжной последней значащей цифрой. даже если законы Ньютона задаются дифурами второго порядка, управление ракетными двигателями происходит тактами "действие-измерение-корректировка". (кстати, "предиктор Щипанова" был очень любопытной игрушкой, возможной только в непрерывном времени, поскольку "предсказывал будущее")

ну, диффуры второго порядка все-таки в непрерывном времени? я понимаю, что сложные уравнения мы решаем численно всякими методами конечных элементов. но ведь приятно, что иногда уравнение (например, dy/dt=ky) решается формулой? теперь представьте, что к этому диффуру надо добавить случайный шум. как к уравнению в непрерывном времени дoбавить дискретный шум?

"Ито калькулюс" - таки калькулюс. dB*dB=dt! в реальной жизни обыкновенных интегралов тоже нет. физики говорят, чтo все (время, пространство) квантуется, компутеры могут складывать только конечные суммы. поэтому можно думать, что любая непрерывная модель, на самом деле, аппроксимация реальности. если повезет, аппроксимация будет выписываться красивой математикой. например, "Ито формула". с помощью нее можно явно решить два, а может даже три SDE. одно из них описывает geometric Brownian Motion, траектория которого похожа на график DJ index-а

в 1994 целый выпуск "Теория вероятностей и ее применения" был про финансовую математику. Ширяев (с кем-то по-моему) написал две обзорные статьи. первая как раз про дискретное время и биномиальную модель. там все есть: arbitrage, self-financing, replicating, maringale measure. я не практик, да и эти теор.шашки брал в руки последний раз лет 15 назад. но мне кажется эти дискретные модели/методы используются квантами наравне с диффузиями

я не спорю с вами (и даже вроде наоборот) соглашаюсь с тем, что наш мир описывается дифференциальными уравнениями с невъебической точностью на самых разных масштабах, от квантовых до межгалактических. но это всё - творение Создателя. ему так угодно было, а нас не спросили

но есть одно место, в котором несомненная засада. это Второй закон термодинамики, от которого едет крыша. собственно, он-то и утверждает, что демонов Максвелла быть не может. что уж там от квантовой теории ("измеряя, искажаешь"), что от странной математики, - не знаю. Миша в какой-то момент меня поразил категорическим утверждением, что если в физике и может быть какой-то Фундаментальный закон (с большой буквы "Ф"), то это именно Второзакон

получается, что людишки-торгаши со всеми ихними электронными счётами и супербыстрыми актами регистрации гражданского состояния бросают вызов самому Создателю. история учит, что такие проделки никогда добром не кончались

"ортогональны" - это как разложение Лебега, если я правильно уловил мысль?

да, можете посоветовать, где такая общность как SDE по полумартингалу разбирается? помимо упоминавшихся выше Dellacherie, Meyer, трехтомника за авторством Jacod, ну и чуть полегче написанной книжки Protter?

ортогональность там настоящая, в L2 - оттуда в финансовых моделях с прыжками (для моделирования кредитоспособности, например) всегда часть с процессом Пуассона оказывается независимой от непрерывных броуновских движений

про книгу - не уверен, но посмотрите, если найдёте, книгу Ikeda & Watanabe

возможно я ошибаюсь, но кажется, что ортогональность в L2 чуть слабее чем независимость, например при нелинейных преобразованиях она может нарушиться, а независимость - нет

вы безусловно правы, из ортогональности для центрированных величин может следовать только нулевая корреляция, но никак не независимость в общем случае (исключение - многомерные нормальные распределения). Я неточно выразился - я имел в виду, что мартингалы, соответствующие непрерывной диффузии и прыжкам в дефолт в кредитных моделях имеют нулевую перекрёстную вариацию, и поэтому произведение двух таких экспоненциальных мартингалов снова оказывается мартингалом, что сильно облегчает жизнь кредитным квантам

конечно. две сигма-алгебры А и В называются "независимыми в вероятностной мере Р", если для каждого события из А и каждого события из В вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. это определение обобщает два других из элементарного курса теорвера: "два события независимы, если независимы их минимальные сигма-замыкания" (сигма-алгебры из четырёх элементов: событие, его дополнение, пустое множество и всё пространство); "две вещественные случайные величины независимы, если независимы их pullbacks" - прообразы борелевой сигма-алгебры на прямой

мне казалось, что сигма-алгебры - "независимый" компонент описания вероятностного пространства, задаваемый независимо от вероятности. сигма-алгебра - закодированный список "событий", о которых дозволено говорить шехерезадам и нострадамусам, и о вероятностях которых вообще может идти речь

могут ли быть две сигма-алгебры, независимые при одной мере Р, но зависимые при другой мере Q?

безусловно, и так и происходит в большинстве случаев. я старался подчеркнуть, что вероятностная мера является частью определения "независимости"

меня просто смутило, что вы ставите акцент именно на "списке событий, о которых дозволено высказываться", а не на теорему Фубини, ставшую определением "независимости"

одно время была страшно модна теория fuzzy sets. менее далёкие последователи сразу схватились за учебники теорвера, сочиняя нечёткие монографии. более осторожные сразу поняли, что на говне сметаны не соберёшь, и без понятия "независимости" никакой содержательной теории не получится

пардон, Фубини - не определение, а каноническая иллюстрация независимости (на произведении вероятностных пространств marginal сигма-алгебры независимы по построению). гораздо интереснее независимость двоичных (а также десятичных и т.д.) цифр в записи равномерно распределенной на [0,1] случайной величины

я употребил "Фубини" в аллегорическом смысле

но вот более серьёзный вопрос, который я не понимаю "по сути": каким образом трейдеры вообще зарабатывают деньги в мире жестоких мартингалов. Гирсанов - не Гирсанов, но предвидеть динамику хоть цен, хоть нумерария после отфильтровки всех дрифтов - "тенденций" - невозможно. что не так в такой картине?

теорема Фубини - не только иллюстрация. есть серия теорем Рохлина (увы, незнакомых подавляющему числу вероятностников) о том, что все разумные (сепарабельные в некотором смысле) вероятностные пространства изоморфны единичному отрезку снабженному мерой Лебега. всякая сигма-алгебра в таком пространстве возникает из его проекции на другое вероятностное пространство, и, более того, всякая такая проекция изоморфна фубиниевской проекции квадрата на отрезок. в этих терминах независимость двух сигма-алгебр означает в точности, что фактор-пространство, отвечающее порожденной ими сигма-алгеброй, есть произведение фактор-пространств, соответствующих каждой из двух исходных сигма-алгебр