P(ζ∈l) = lenght l / length L
совокупность (Ω,𝔸,P), где Ω — некоторое множество, элементы которого называются элементарными исходами, 𝔸 — σ-алгебра подмножеств множества Ω, элементы которой A называются случайными событиями, P — вероятность — отображение A → ℝ, удовлетворяющее следующим свойствам:
пусть (Ω,𝔸,P) — вероятностное пространство
пусть Ω ⊂ ℝⁿ, mes(Ω) < ∞
пусть A — множество всех таких подмножеств 𝔸, для которых определена мера:
A ∈ 𝔸 ⇔ ∃ mes(A)
множество всех подмножеств, имеющих меру образует σ-алгебру
определим вероятность как
P(A) = mes(A) / mes(Ω)
а теперь тоже самое, но нормальным языком ...
рассмотрим какую-нибудь область Ω в Rⁿ (на прямой, на плоскости, в пространстве). предположим, что «мера» Ω (длина, площадь, объем, соответственно) конечна. пусть эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку. предположим также, что вероятность попадания точки в любую часть A ⊂ Ω не зависит от формы или расположения A внутри Ω. в этой ситуации, если вероятность события ноль, то это не значит, что событие невозможно
например, точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. вероятность ей попасть в точку 0.5 равна нулю, так как равна нулю мера множества, состоящего из одной точки. но попадание в точку 0.5 не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента. общее число элементарных исходов здесь бесконечно, но все они по-прежнему «равновозможны»
геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области исходов Ω
мера А
p(A) = ------
мера Ω
далеко не для всех множеств А вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере Ω. причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, т.е. множеств, мера которых не существует
P(ζ∈l) = lenght l / length L
P(ζ∈s) = area s / area S
P(ζ∈h) = volume h / volume H
две студентки договорились о встрече у деканата на большой перемене (40 мин), условившись каждая ждать другую не более 10 мин. какова вероятность того, что встреча состоится?
обозначим через x и y время (в часах, с начала перемены) прихода к деканату студенток
область Ω равновозможных значений x и y представлена квадратом c площадью 4/9
область благоприятных значений A (встреча состоится) = {(x,y): |x - y| ≤ 1/6} заключена между прямыми y = x - 1/6 и y = x + 1/6
S(A) = 4/9 - (2/3 - 1/6)^2 = 16/36 - 9/36 = 7/36
p(A) = 7/36 / 4/9 = 7/16 ≈ 0.44
Joseph Louis François Bertrand, "Calcul des probabilitiés", 1888
дана единичная окружность. случайным образом строится хорда. какова вероятность того, что длинна хорды будет больше √3 ?
зафиксируем одну точку на окружности и выберем наудачу на окружности другую точку. Ω = [0, 2π], а благоприятными являются положения второй точки на интервале [2π/3, 4π/3] длинной 2π/3. вероятность получить «длинную» хорду равна 1/3
можно выбирать хорду, бросая наудачу точку середины хорды в круг. Ω — круг радиуса 1 с площадью π, а благоприятными являются положения середины хорды внутри круга радиусом 1/2 с площадью π/4. вероятность получить «длинную» хорду равна отношению площадей кругов, т.е. 1/4
можно выбирать середину хорды наудачу на диаметре круга — отрезке [0, 2] длиной 2. благоприятными являются положения середины хорды на отрезке [1/2, 3/2] длиной 1. искомая вероятность для такого эксперимента равна 1/2
в чем причина разницы в ответах на один и тот же вопрос? на самом деле формулировка задачи не является корректной. «выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности. каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физический эксперимент (всякий раз - другой). парадокс исчезает, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»? (вспомните различные статистики распределения дискретной случайной величины и связанные с ними изменения оценок вероятности событий)
точка брошена наудачу внутрь окружности радиуса r. какова вероятность того, что расстояние точки от центра окружности меньше r/3?
шар радиуса r брошен в сетку, образующую квадраты со стороной 5*r. какова вероятность того, что шар не заденет сетки?
дан полином x² + p*x + q, где –1≤p≤1,–1≤q≤1. рассмотрим событие A, состоящее в том, что этот полином имеет вещественный корень. этому событию соответствует такой выбор точки на плоскости (p,q)∈[–1,1]×[–1,1], при котором p²−4*q≥0 ⇔ q≤p²/4
область, удовлетворяющая этим условиям на рисунке заштрихована
1
P(A) = (2 + ∫ p²/4 dp)/4 = 13/24
-1