предметом проективной геометрии является изучение решений систем алгебраических уравнений в проективных пространствах. возникновение проективной геометрии относится ко временам Ренессанса. потом координатый метод на два столетия затмил проективные методы, но в конце XIX - начале XX вв. проективная геометрия обрела второе дыхание
проективная геометрия рассматривает фигуры как перспективу или проекцию других фигур. некоторые свойства фигур сохраняются в их перспективе, некоторые же теряются - так называемые метрические свойства (поскольку перспектива меняет величину углов и расстояния). свойства фигур, которые сохраняются в перспективе, носят название проективных свойств и составляют предмет изучения проективной геометрии
любое проективное преобразование переводит прямую в прямую, а конику - в конику
существует класс преобразований, которые называются проецированиями (как частный случай проективных преобразований). в эпоху Возрождения Альберти, Дюрер и Леонардо-да-Винчи создали теорию перспективного изображения - частного случая проективного изображения. ренесансные проекции таковы : есть бесконечно удаленные точки, которые составляют линию горизонта, параллельные линии плоскости пересекаются на горизонте, прямая всегда изображается прямой, конус всегда изображается конусом, а любая коника - эллипсом
в 1639 г. Дезарг представил свою знаменитую теорему - теорему плоской геометрии, но доказанную с помощью проективного рассмотрения пространственных образов, и около того же времени Паскаль доказал теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение (частный случай которой найден был еще Паппусом)
Th Паппуса: если три точки плоскости a1,a2,a3 коллинераны и другие три точки b1,b2,b3 коллинеарны, то точки
с1 = (a2,b3) ∩ (a3,b2)
c2 = (a1,b3) ∩ (b1,a3)
c3 = (a1,b2) ∩ (b1,a2) - тоже коллинеарны. есть вырожденные случаи, когда такие линии пересекаются на бесконечности
если есть неочевидное свойство у конфигурации, то его можно доказать таким образом - сначала построить другую конфигурацию, в которой это свойство очевидно (легко доказывается), а потом доказать, что существует проекция из первой концигурации во вторую
дана окружность, точка вне ее и линейка без шкалы. необходимо построить касательную к окружности
отправкой точки на ∞ мы можем доказать, что построенная таким образом прямая - действительно касательная
Th Паскаля: выбираем шесть любых несовпадающих точки на любой конике (эллипс, гипербола, парабола) a1 a2 a3, b1 b2 b3 и соединяем их попарно. тогда точки
с1 = (a2,b3) ∩ (a3,b2)
c2 = (a1,b3) ∩ (b1,a3)
c3 = (a1,b2) ∩ (b1,a2) - коллинеарны. есть вырожденные случаи, когда такие линии пересекаются на бесконечности
Proof: переведем проективным преобразованием конику в окружность:
пусть прямые AB и DE пересекаются в точке X, прямые BC и EF - в точке Y, а AF и CD - в точке Z
углы ∠BAF и ∠BCF равны, поскольку опираются на одну дугу
по той же причине равны углы ∠CDE и ∠CFE
треугольники AZD и CZF подобны
рассмотрим преобразование подобия, переводящее треугольник AZD в треугольник CZF:
точка X перейдет в точку X′, изогонально сопряженную точке Y относительно треугольника CZF (в силу вышеуказанных равенств углов)
следовательно, ∠AZX = ∠CZX′ = ∠FZY, а это и означает, что точки X, Z и Y лежат на одной прямой. QED
Th Дезарга: есть три прямые пересекающиеся в одной точке и два треугольника a1a2a3 и b1b2b3, каждая вершина которых лежит на одной из прямой. тогда продолжения соответствующих сторон треугольников пересекаются и точки пересечения -
c3 = (a1,a2) ∩ (b1,b2)
c2 = (a1,a3) ∩ (b1,b3)
c1 = (a2,a3) ∩ (b2,b3) - коллинеарны. есть вырожденные случаи, когда такие линии пересекаются на бесконечности
two triangles are in perspective axially if and only if they are in perspective centrally
теорема Дезарга справедлива для проективной вещественной плоскости (для которой она и была первоначально доказана) и для любого проективного пространства, определенного арифметически для поля или для кольца с делением - это включает в себя любое проективное пространство размерности больше 2 или вообще любое, для которого справедлива теорема Паппуса. но существует много проективных плоскостей, для которых эта теорема не верна
малая теорема Дезарга: если два треугольника перспективны из точки на заданной линии l, и продолжения двух пар соответствующих сторон треугольника пересекаются в точках на той же самой линии l, тогда и оставшееся третья пара сторон этих треугольников тоже имеет пересечение продолжений в точке на этой же линии l
другими словами, пусть ABC и A'B'C' – два треугольника таких, что прямые AA' BB' CC' различны и параллельны. тогда из условий AB||A'B' и AC||A'C' следует, что BC||B'C'
муфангова плоскость (Moufang plane) - это проективная плоскость в которой малая теорема Дезарга верна. проективная плоскость над любым альтернативным кольцом с делением является муфанговой и это значит наличие соответсвия 1:1 между классами изоморфизмов такого кольца и муфанговой плоскости
все добытые до Понселе важные результаты представляют несвязанные части великого целого и только в его "Traite des propriétés projectives des figures" (1822) они были приведены в стройную систему. однако истинный характер проективной геометрии - ее отношение к различным группам аксиом. сам Понселе и его школа (Штейнер, Шаль, Лагерр) строили проективную геометрию, исходя из понятия о расстоянии, т. е. с помощью аксиом о конгруэнтности и пользуясь постулатом о параллельных линиях. поэтому в их изложении метрические свойства фигур были смешаны с проективными ("дескриптивными" - как их называл Понселе) свойствами. Штаудт в своем классическом сочинении "Geometrie der Lage" (1847) впервые выяснил один из основных вопросов проективной геометрии, показавши, что все дело в изучении взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, т.е. в пользовании только теми аксиомами, которые Гильберт называл "аксиомами сочетания" и "аксиомами порядка"
Th Шаля: если движение g оставляет неподвижными две разные точки A и B прямой, то оно оставляет неподвижными вообще все точки прямой:
if g (A) = A
g (B) = B , B ≠ A
then g = Id
если неподвижная точка A только одна:
if g (A) = A , ∃!A
then g = SA
если неподвижных точек вообще нет:
if g (A) ≠ A , ∀A
then g = T
точки проективной прямой ℙ¹(ℝ) являются прямыми аффинного пространства A², проходящими в пространстве A² через точку (0,0)
изоморфизм между проективной прямой и (полу)окружностью:
проективная плоскость ℙ²(ℝ) - это множество всех прямых трехмерного эвклидова пространства, проходящие через начало координат. выбирается какая-либо плоскость (обычно z=1) и каждая такая прямая имеет на плоскости представителя, за исключением прямых, лежащих в плоскости x0y эвклидова пространства
рассмотрим обычную эвклидову плоскость Π. назовём бесконечно удалённой точкой класс эквивалентности прямых по отношению параллельности. проективная плоскость — объединение Π и множества всех бесконечно удалённых точек. для каждой прямой l ⊂ Π определим проективную прямую l' — объединение l и одной бесконечно удалённой точки, соответствующей направлению l. добавим в список проективных прямых бесконечно удалённую прямую, состоящую из всех бесконечно удалённых точек. для построенной системы точек и прямых верно, что
поместим Π в ℝ³ как плоскость, не проходящую через 0. точке p ∈ Π сопоставим пересечение S² ∩ (0p). это пара противоположных точек сферы, т.е. точка из
множество всех прямых и плоскостей, проходящих через данную точку О трехмерного пространства называется "связкой"
возьмем плоскость π, не из связки. через каждую точку π проходит одна и только одна прямая из связки - "перспективное соответствие". каждая прямая из π принадлежит одной и только одной плоскости из связки. "перспективное соответствие". являются ли эти два соответствия биекциями? нет! прямые из связки, паралельные плоскости π ("особые прямые"), не имеют своих представлений в виде точек на π, а плоскость, паралельная плоскости π ("особая плоскость") не соответствует никакой прямой из π. совокупность всех "особых прямых" связки образуют "особую плоскость" связки
представляется естественным "дополнить" связку так, чтобы соответствие между прямыми связки и точками из π а также между плоскостями связки и прямыми из π стали взаимно однозначным
пополнение плоскости "несобственными элементами" происходит при соблюдении следующих условий:
пополненая "несобственными точками" и "несобственной прямой" плоскость π называется "проективной плоскостью":
пусть на плоскости π заданы аффинные координаты. пусть точка М с координатами (x,y) - произвольная точка плоскости π. назовем всякую тройку чисел (x1,y1,z1) "однородными координатами" точки М если
x1 ~ x
y1 ~ y
z1 ~ 1
задача: по однородным координатам (x1,y1,z1) найти аффинные координаты (x,y):
x:y:1 = x1:y1:z1
x:1 = x1:z1
y:1 = y1:z1
x = x1/z1
y = y1/z1
т.о. каждая точка плоскости π получила бесконечно много троек однородных координат, но если z3 ≠ 0, то тройка называется "обыкновенной", а если z3 = 0, то - "особой"
пусть дана произвольная кривая из связки. тройку координат (x,y,z) любого вектора, лежащего в этой прямой, называют тройкой "однородных координат" этой прямой. очевидно, что тройки координат точки плоскости π есть тройки однородных координат перспективной прямой к этой точке
в четырехмерном пространстве ℝ⁴ рассмотрим множество всех прямых, проходящих через начало координат. мы хотим рассматривать это множество как пространство, точками которого являются прямые. каждая точка этого пространства ℙ³(ℝ) определяется направляющим вектором (a1,a2,a3,a4) соответствующей прямой, т.е. четверкой действительных чисел. поскольку пропорциональные четверки определяют одну и ту же прямую, каждая точка ℙ³(ℝ) есть класс эквивалентности пропорциональных четверок чисел, обозначаемых Р=(a1:а2:a3:а4), где (a1,a2,a3,a4) — произвольный представитель класса. в окрестности каждой точки пространство ℙ³(ℝ) устроено подобно ℝ³
пусть A — аффинное пространство
определим множество бесконечно удалённых точек: A∞ = P(A) и проективное пополнение 𝐀:
𝐀 = A ⋃ A∞
на 𝐀 вводится структура проективного пространства:
каждому аффинному подпространству соответствует проективное подпространство. каждое проективное подпространство в 𝐀 либо соответствует аффинному подпространству в A, либо содежится в бесконечно удалённой гиперплоскости A∞
* * *
Def: проективная линия ℙ¹(ℝ) - это совокупрность одномерных подпространств в пространстве размерности 2. иными словами - множество всех прямых в ℝ², проходящих через начало координат
Def: проективная плоскость ℙ²(ℝ) - это совокупность одномерных подпространств в пространстве размерности 3. другими словами - это множество всех прямых, проходящих через начало координат трехмерного пространства
Def: и вообще, вещественным проективным пространством ℙⁿ(ℝ) размерности n называется множество "прямых" проходящих через начало координат в пространстве ℝⁿ⁺ⁱ
ℙⁿ(ℝ) — проективное пополнение ℝⁿ. это видно из стандартного вложения ℝⁿ в ℙⁿ(ℝ) :
(x1 ,..., xn) → [x1 : ... : xn : 1] бесконечно удалённые точки - те, у которых последняя из однородных координат равна 0
ℙ¹(ℝ) — прямая с одной бесконечно удалённой точкой, которая обозначается символом ∞:
ℙ¹(ℝ) = ℝ¹ ∪ {∞}
точке с однородными координатами [x:y] соответствует либо число x/y ∈ ℝ, если y≠0, либо ∞, если y=0. (оказывается, что делить на ноль - можно!)
выкинув из проективного пространства любую гиперплоскость, получаем аффинное пространство, которое называется аффинной картой
P(V) = V\{0} / ~ , где ~ отношение эквивалентности элементов пространства V
dim P(V) = dim V - 1
ℙⁿ(ℝ) = P(ℝⁿ⁺¹)
все проективные отображения f:P(V)→P(W) иньективны - по определению, т.е. при этом ничего из отображаемого не "слипается"
проективные преобразования всегда переводят прямую в прямую
если проективное преобразование переводит бесконечно-удаленные точки в бесконечно-удаленные, то оно является "продолжением аффинного"
аффинное отображение является частным случаем проективного
проективные преобразования n-мерного пространства являются линейными преобразованиями n+1-мерного пространства (линейные преобразования сохраняют центр координат и расстояния) и т.о. можно задать проективное преобразование с помощью невыроженной матрицы размерности n+1
отправка на бесконечность правильно выбранной гиперплоскости иногда позволяет упростить задачу
фотография участка земной поверхности — образ этого участка при проективном отображении
у проективных преобразований есть инвариант. если взять четыре элемента прообраза a,b,c,d, то соотношение
(c - a) / (c - b) : (d - a) / (d - b) = λ
сохраняется всегда в образе. т.е.
(c' - a') / (c' - b') : (d' - a') / (d' - b') = λ
причем это отношение функционально для любой перестановки коэффициентов a, b, c и d из группы перестановок S₄. что это значит?
λₙ = f (λ₁)
рассмотрим в качестве примера простейший случай проективного преобразования на прямой. тогда разности в формуле двойного отношения будут просто разностями одномерных координат
перестановки четырех различных символов-точек образуют группу S₄ состояющую из 24 элементов. и выбрав любую перестановку, как опорную с конкретным значением λ₁ мы сможем выразить значение нового двойного соотношения λ₂ для другой перестановки через прежнее значение λ₁. например если мы выберем в качестве опорной нейтральную перестановку {(aa) (bb) (cc) (dd)} = e из S₄, а в качестве новой перестановку, где с и d поменялись местами, то новое отношение будет равно
λ₁ --- S₄(cd) --> λ₂ = 1/λ₁
если мы выберем перестановку, где поменялись местами а и b, то новое двойное отношение будет тоже равно 1/λ
λ₁ --- S₄(ab) --> λ₂ = 1/λ₁
в S₄ есть нормальная подгруппа, которая не меняет отношение для образа, а именно - подгруппа изоморфная группе V₄:
{ e
, { (ab) , (cd) }
, { (ac) , (bd) }
, { (ad) , (bc) }
}
по этой подгруппе можно произвести факторизацию группы S₄ и классы из S₄/V₄ будут изоморфны группе S₃. эта группа содержит шесть элементов и это значит, что разных зависимостей новой лямды от старой будет всего шесть, а именно:
λ₁ = λ₁
λ₂ = 1 / λ₁
λ₃ = 1 / (1 - λ₁)
λ₄ = λ₁ / (λ₁ - 1)
λ₅ = 1 - 1 / λ₁
λ₆ = 1 - λ₁
Proof: листинг Хаскеля. и если вы подадите на вход этой программы любые четыре разные числа с плавающей точкой (с точностью до второго знака после запятой), то результат работы программы будет всегда True: эта прога просто вычисляет лямбду для каждой перестановки и затем сравнивает ее с одним из шести предвычисленных вышеприведенных значений. QED
все это сохраняется и для больших размерностей, надо лишь пересчитывать расстояния между парами из a,b,c,d в соответствии с размерностью пространства
итак:
проективные преобразования сохраняют двойное отношение
двойное отношение корректно определено на любой проективной прямой, т.е. не зависит от выбора аффинной карты
если у двух четвёрок точек двойныее отношения равны, то их можно перевести друг в друга проективным преобразованием
если биекция между проективными прямыми сохраняет двойное отношение, то это проективное отображение
рассмотрим проективное пространство P(V)
Def: проективная квадрика в P(V) - проективизация множества нулей квадратичной формы, заданной на V
замечание (корректность определения): квадратичная форма Q:V→R однородна. если Q(v)=0, то Q(t*v)=0 для всех t∈R. ⇒ для каждой точки из P(V) все порождающие ее векторы из V либо лежат в множестве нулей Q, либо все не лежат
рассмотрим в ℙ²(ℝ) с координатами (x:y:z) уравнение x²-y*z=0. оно однородно степени 2, поэтому множество решений - проективная квадрика
рассмотрим аффинную карту {z≠0}. она отождествляется с ℝ² : (x,y)→(x:y:1). подставляя z=1, получаем, что аффинная часть - парабола y=x²
кроме аффинной части, на этой квадрике есть одна бесконечно удалённая точка (0:1:0)
рассмотрим аффинное пространство X и его проективное пополнение X^
пусть M ⊂ X - квадрика, заданная уравнением F(x)=0
Th: существует проективная квадрика M^ такая, что M^ ∩ X = M
Def: такая проективная квадрика M^ называется проективным пополнением аффинной квадрики M
M^ - замыкание M в топологическом смысле
Th: образ квадрики при проективном преобразовании - тоже квадрика
это перечисление их классов эквивалентности по такому отношению: две квадрики эквивалентны, если одна переводится в другую проективным преобразованием
уравнения квадрик имеют вид Q(v)=0, где Q - квадратичная форма на V. они рассматриваются с точностью до пропорциональности, т.е. Q и λ*Q, где λ ∈ ℝ\{0}, задают одно и то же уравнение
квадратичные формы Q1 и Q2 проективно эквивалентны, если существуют линейное преобразование
L : V → V и константа λ ≠ 0 такие, что
Q2 = λ * Q1 ◦ L
для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна и на диагонали стоят только числа ±1 и 0. это значит, что проективных типов квадрик в каждой размерности - конечное множество, и тип квадрики определяется количествами положительных и отрицательных элементов в диагональной форме в проективных координатах. кроме того, все знаки можно поменять на противоположные - это соответствует умножению уравнения на -1
при проективных преобразованиях эллипсы, параболы и гиперболы переходят в эллипсы, параболы и гиперболы. любую из этих кривых можно проективным преобразованием перевести в любую другую. например, в окружность. в частности, окружность при проективном преобразовании переходит в эллипс, параболу или гиперболу - результат зависит от того, сколько точек окружности отправляется на бесконечно удалённую прямую
если алгебра коммутативна, то в соответствующем пространстве выполняется теорема Паппуса. если алгебра ассоциативна, то выполняется теорема Дезарга. если же в пространстве выполняется только малая теорема Дезарга, то алгебра альтернативна
группа GL(n,K) порождена элементарными матрицами размерности n, у которых определитель по модулю равен 1. так например для GL(2,F₂) имеем следующие образующие:
g1 ( 1 0 g4 ( 0 1
0 1 ) 1 1 )
g2 ( 1 0 g5 ( 1 1
1 1 ) 1 0 )
g3 ( 1 1 g6 ( 0 1
0 1 ) 1 0 )
причем для этой группы ее образующие совпадают с группой
группа SL(n,K) порождена элементарными матрицами, у которых на диагонали стоят 1, на ij-м месте (i<j) стоит x ∈ K, а на всех остальных местах (i>j) стоят 0
PGLₙ(K) = GLₙ(K) / центр(GL) центром являются "скалярные матрицы", где на главной диагонали стоят обратимые элементы а на остальных местах стоят нули PGLₙ(K) = GLₙ(K) / (K* . e) 1 → Gₘ → GLₙ → PGLₙ → 1 1 → R* → GLₙ(R) → PGLₙ(R) → ? PSLₙ(K) = SLₙ(K) / центр(SL) центром являются "скалярные матрицы", где на главной диагонали стоят числа, n-ая степень которых равна 1, а на остальных местах стоят нули
SL₂(ℝ) - это группа линейных преобразований на вещественной плоскости, заданная матрицей
( a b
c d )
детерминант которой равен 1:
det = a * d - c * a = 1
группа PSL₂(ℝ) - это группа преобразований прямых на вещественной плоскости с использованием матрицы с единичным положительными детерминантом
и вообще, группа PSLₙ(ℝ) это группа матриц размерности n с единичным положительным детерминантом, действующая на прямую в вещественном пространстве размерности n
но такие преобразования можно рассматривать не только над вещественым полем ℝ, но и над конечными полями F. для любой степени m простого числа p существует поле F c q элементами, где q=pm
гомоморфизм не обязан быть биекцией, а изоморфизм - обязан ею быть
если элементами матрицы являются элементы конечного поля, то для группы из таких матриц используют обозначение, в котором число элементов поля указывается вторым, а первым (как и всегда) указывается размерность матрицы преобразования. так например для группы матриц 2⨯2, элементами которых являются числа конечного поля F₂ применяют обозначение GL(2,2). такие группы действуют на векторном пространстве с размерностью, равной размерности матриц группы над полем с конечным числом переменных - в данном случае с двумя переменными: 0 и 1
листинг Maxima