геометрия - это исследование свойств кривых, поверхностей и их областей в пространстве, которые (свойства) сохраняются при (специальных) преобразованиях пространства
если на пространстве задана метрика, то вся такая геометрия делится на что попадает куда - зависит от вида билинейной формы, посредством которой метрика задана. например, матрица билинейной формы аффинной геометрии - диагональна

аналитическая геометрия
вычисление длин дуг (pdf)

коники
Гроссмастер Арнольд о кониках

проективная геометрия
гроссмастер Арнольд о проективных пространствах
Мэтр Хахам о проективных преобразованиях

алгебраическая геометрия
дифференциальная геометрия