в XVIIв в геометрию было введено понятие "координат", позволившее рассматривать геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют алгебраическим соотношениям

аналитическая геометрия


  • прямая линия на плоскости
  • плоскость в пространстве
  • интеграл от скалярной функции по кривой
  • интеграл от векторного поля по кривой
  • кривые второго порядка

  • прямая линия на плоскости

    линия, координаты (x,y) точек которой удовлетворяют уравнению вида

                         a·x + b·y + c = 0  
    является прямой линией на плоскости. величины а, в и с являются параметрами прямой линии

    из уравнения виден смысл коэффициентов a и b - они определяют вектор, ортогональный к заданной ими прямой прямой. коэффициент c есть мера сдвига прямой от начала координат в направлении этого ортогонального вектора - а именно - с есть величина вектора OY, где Y - точка пересечения прямой с осью "y", а сам свиг однозначно характеризуется этой ординатой и углом наклона прямой к оси "x". вектор, коллинераный с вектором заданным коэффициентами a, b и равный произведению векторов (a, b) и OY (проекция OY на ортогональный вектор) и будет истинным сдвигом от начала координат вдоль по вектору (a,b). знак произведения задает направление сдвига

    все можно посмотреть используя шелл и гнуплот. вот листинг , а вот результат:

    если уравнения двух прямых заданы в матричном виде

           ₂A² * ²X + ²C = 0
    то известны векторы, перпендикулярные этим прямым
          N1 = (a11 ; a12 )
          N2 = (a21 ; a22 )
    углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, поэтому угол между этими двумя прямыми равен углу между векторами N1 и N2
        cos φ = (N1 ⊙ N2) / (|N1| * |N2|)
        = (a11 * a21 + a12 * a22 ) / ((sqrt (a11² + a12²)) * (sqrt (a21² + a22²))) 

    листинг Хаскеля

    расстояние от точки плоскости до прямой

    даны точка М (x0 , y0 ) и прямая, заданная уравнением в общем виде

              a · x + b · y + c = 0
    найдём расстояние от этой точки до прямой

    если подставить координаты точки М в уравнение прямой, то получим уравнение для параллельной прямой, проходящей через М:

        a · x0 + b · y0 + с = d  
    d ≠ 0 так как в противном случае точка М лежала бы на заданной прямой
        a · x0 + b · y0 = d - c  
    очевидно, что левая часть уравнения представляет собой произведение векторов (a,b) и (x0 ,y0 ) - сиречь проекцию вектора точки на ортогональный ненормированный вектор к заданной прямой. тогда (нормированное) расстояние есть проекция деленная на норму
                  γ = (d - c) / √ (a² + b²)  
    важно отметить, что параметр γ - всегда знаковый, и знак определяет ориентацию точки относительно прямой

    следствия : необходимым и достаточным условием того, что точка 00) лежит между прямыми a1 * x + b1 * y + c1 = 0 и a2 * x + b2 * y + c2 = 0 является условие

        γ1 * γ2 < 0 
    т.к. если точка находится между двумя прямыми, то для одной прямой ориентация расстояния положительна, а для другой прямой - отрицательная и поэтому их произведение - всегда отрицательная величина

    необходимым и достаточным условием того, что точка (х00) не лежит между прямыми a1 * x + b1 * y + c1 = 0 и a2 * x + b2 * y + c2 = 0 является условие

        γ1 * γ2 > 0
    т.к. если точка не находится между двумя прямыми, то ее ориентация для обеих прямых имеет один и тот же знак и поэтому их произведение - всегда величина положительная

    листинг Хаскель

    плоскость в пространстве

    плоскостью, проходящей через заданную точку M(x0 ,y0 ,z0 ) перпендикулярно заданному направлению называется геометрическое место точек концов векторов, имеющих началом М и перпендикулярных вектору (a,b,c) задающему направление (нормали к плоскости)

    пусть (x ; y ; z) - произвольная точка плоскости. по условию ортогональности векторов:

        a·(x - x0 ) + b·(y - y0 ) + c·(z - z0 ) = 0
    
        a·x + b·y + c·z + d = 0
    
        где d = - (a·x0 + b·y0 + c·z0 )
    геометрический смысл коэффициена d - это параметр смещения вдоль нормального вектора от начала координат
        TODO code Haskell 

    даны две плоскости

        a1 ·x + b1 ·y + c1 ·z + d1 = 0
        a2 ·x + b2 ·y + c2 ·z + d2 = 0 
    если они пересекаются, то угол между плоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих плоскостей. угол между двумя нормальными векторами определяется через скалярное произведение в координатной форме:
        TODO code Haskell


    интеграл от скалярной функции

    в произвольных координатах пространства размерности n: (x1 ,...xn ) "скалярный квадрат" вектора v задается формулой:

                     n
          |v|² =     Σ      gik * dxi /dt * dxk /dt
                   i,k = 1
    
                     gik = ∂vi /∂xi * ∂vk /∂xk 
    где g - суть метрический тензор

    кривая на плоскости

    предположим, что на плоскости координаты x и y заданы как функции переменной t (параметром) уравнениями

        x=f(t)     и      y=g(t)
    где t пробегает какой нибуть интервал на вещественной прямой. тогда каждое значение параметра t определяет точку на координатной плоскости. когда t изменяется от a до b, точка (x,y) (f(t),g(t)) пробегает некоторую кривую C, называемую "параметрической кривой"

    Th: если кривая C задана параметрическими уравнениями x=f(t), y=g(t), где f и g непрерывны на [a,b], причем C пробегается ровно один раз при увеличении t от a до b, то длина C вычисляется по формуле:

                b
         L(C) = ∫ √ ( [f']² + [g']² ) dt
                a    
    подинтегральное выражение называется "дифференциалом дуги". с физической точки зрения длинна сегмента кривой равна интегралу модуля вектора скорости (что, в евклдовой метрике, и значит подынтегральное выражение)

    важно! параметр t должен увеличиваться от a до b, т.е. верхний предел в определенном интеграле должен быть больше нижнего предела

    важно! значение криволинейного интеграла не зависит от способа параметризации кривой, но кривая пробегается ровно один раз при увеличении t

    так определенная длинна дуги называется натуральным параметром

    пример: длина отрезка прямой. уравнение y = x
          x = t, x' = 1
          y = t, y' = 1
          t = [0, 1]
    
              1
          L = ∫ √(1² + 1²) dt = 1.41
              0  
    пример: длинна окружности единичного радиуса. уравнение x²+y²=1
         x = cos t, x' = - sin t
         y = sin t, x' =   cos t
         t = [0,2π ]
    
             2π                        |2π
         L = ∫ √ (cos²t + sin²t) dt = t|0 = 2π
             0 
    пример: сравнение длины синусоиды с длиной интервала ее определения
    /*
    вычислим длину дуги кривой cos на интервале [0, 2pi]
     x = t
     y = cos (t)
    
         2*%pi
      L = ∫ sqrt (1 + sin²t) dt
          0
    */
    
    f : sqrt (1 + sin (t) ^2 ) $
    a : integrate (f, t, 0, 6.28) $
    
    /* чета не хочет Максима численно интегрировать. рекбус, загадка, крогсворт (с)  */
    

    поверхности

    есть три способа задания поверхности в трехмерном пространстве

    локально, около неособой точки, все три способа эквиваленты

    кривая в трехмерном пространстве

    параметрическая кривая C в трехмерном пространстве задается тремя параметрическими уравнениями:

        x(t), y(t), z(t), a ≤ t ≤ b

    число координат, которым задается положение точки в пространстве n=3. если движение точки не ограничено связями, то число степеней свободы будет так же равно s=3. если же точка движется по некой поверхности, то её движение ограничено - поверхность есть связь, налагающая условия на декартовы координаты точки . это условие - уравнение поверхности по которой движется точка - и есть уравнение связи. число степеней свободы такой точки s=2. число обобщенных координат тоже будет равно 2 - это будут криволинейные координаты, отсчитываемые вдоль поверхности (u,v). в общем случае поверхность σ задается параметрическими уравнениями вида

          x (u, v)
          y (u, v)
          z (u, v)
    
          (u, v) ∈ D 
    где D - некоторая область пространства

    функция r (u, v) называется вектор-функцией двух переменных u и v . ее производные по направлениям равны соответственно:

          r'u = ∂x/∂u + ∂y/∂u + ∂z/∂u
          r'v = ∂x/∂v + ∂y/∂v + ∂z/∂v 
    причем векторы r'u и r'v являются касательными к поверхности σ и определяют касательную плоскость к σ в точке, где они вычислены

    если компоненты вектор-функции r(u,v) непрерывны, и векторы r'u и r'v оба ненулевые и непараллельны внутри области (u,v) ∈ D, то для вычисления поверхностного интеграла используем такой способ:

          ∫∫ f(r(u,v)) * |∂r/∂u ⨯ ∂r/∂v| dS
          D    

    точка P(x₀,y₀,z₀) = x(u,v) , y(u,v), z(u,v) называется неособой, если матрица А

          А = ( ∂x/∂u ∂y/∂u ∂z/∂u
                ∂x/∂v ∂y/∂v ∂z/∂v )   
    имеет ранг 2 в этой точке. если точка неособа, то существует касательная в этой точке. плоскость, касательная к поверхности в данной точке имеет размерность, равную размерности поверхности и если поверхность задана системой уравнений, то размерность касательной равна размерности пространства минус количество задающих поверхность уравнений

    риманова метрика на поверхности - способ вычисления длин кривых на поверхности в координатах этой поверхности. иногда метрика поверхности бывает двумерно-эвклидова (например - метрика цилиндра). метрика пространства определяет метрику на любой лежащей в нем поверхности

    пусть теперь σ - кусочно-гладкая поверхность, т.е. объединение конечного числа гладких поверхностей σ12 ,..,σn , пересекающихся только вдоль их границ. тогда поверхностный интеграл функции f по поверхности σ определяется как сумма интегралов по отдельным поверхностям. это подводит к понятию "многообразия"

    интеграл от векторного поля по кривой

    Def: пусть D - область в ℝⁿ. векторным полем в области D называется функция F, ставящая в соответствие n-мерный вектор F(x1 ,x2 ,..,xn ) каждой точке (x1 ,x2 ,..,xn ) из D

    примерами векторных полей являются поле скоростей, гравитационное и электромагнитное поля

    точка (x,y,z) отождествляется с ее радиус-вектором r и вместо F(x,y,z) пишут F(r). тогда F становится функцией, ставящей в соответствие вектору r вектор F(r)

    в отличие от интегралов первого рода, интеграл второго рода меняет знак при изменении обхода контура на противоположный


    пусть коза привязана веревкой к колышку. ясно, что в этом случае она съест траву внутри круга, центром которого является колышек, а радиус равен длине веревки. привяжем теперь козу к двум колышкам с помощью веревки и скользящего по ней кольца. в этом случае область, внутри которой коза съест траву, будет выглядеть как эллипс, а точки, в которые воткнуты колышки, - являются фокусами этого эллипса

    если комета летит мимо Солнца и силы притяжения Солнца недостаточно, чтобы оставить комету в пределах солнечной системы, то траекторией кометы будет дуга гиперболы, фокус которой находится в центре Солнца

    камень, брошенный под углом к горизонту, летит по параболе. в каком-то смысле, с геометрической точки зрения, парабола всего одна (как и окружность). точнее говоря, все параболы подобны, т.е. они переводятся друг в друга поворотной гомотетией

    кривые второго порядка

    Def: кривыми второго порядка называются гиперповерхности, определяемые уравнениями, в которых обе координаты x и y содержатся во второй степени или перемножаются. такая гиперповерхность удовлетворяет уравнению вида:

        a * x²   +   b * y²   +   c * x * y   +   d * x   +   e * y   +   f = 0
    в котором по крайней мере один из коэффициентов a, b, c - отличен от нуля

    переформулировка: Def : гиперповерхность второго порядка в ℝⁿ - это множество точек (x,y,...), каждая из которых является решением какого-либо квадратного уравнения координат

    при n=3 гиперповерхность = поверхность. гиперповерхности второго порядка называются квадриками

    Th : при аффинных преобразованиях квадрики переходят в квадрики

    примеры в ℝ²

    ∅ : x² + y² + 1 = 0

    точка : x² + y² = 0

    прямая : (a*x + b*y + c)² = 0

    две прямые: (a₁*x + b₁*y + c₁) * (a₂*x + b₂*y + c₂) = 0

    общее уравнение кривой можно записать в матричном виде:

        ( x  y  1 ) * ( k11 k12 k13 ( x
                        k12 k22 k23 y
                        k13 k23 k33 ) *   1 )   =   0  

    существует девять и только девять различных видов кривых 2-го порядка , но наиболее часто используются эллипс, гипербола и парабола :

    свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

        F (x, y) = k11 * x²  +  2 * k12 * x * y  +  k22 * y²

    изменением системы координат можно ВСЕГДА привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду (со свободным членом, равным 1). параметры канонических уравнений выражаются через инварианты исходного уравнения кривой и корни характеристического уравнения

    парабола

    парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных как от прямой на плоскости, называемой директриссой параболы так и от одной точки на плоскости, называемой фокусом параболы. расстояние от фокуса до вершины параболы равно p. именно это p и фигурирует в уравнении параболы с вершиной в (0,0) :

        y = 2 * p * x²

    греки называли "приложением" данного квадрата к данному отрезку (греческое слово "парабола" и значит "приложение") построение прямоугольника с данным основанием (отрезок) и данной площадью, которая равна площади какого-то квадрата

        S = m * x  
    где S означает площадь, а m - длинну заданного отрезка. тогда x - есть высота искомого прямоугольника. но это суть есть уравнение параболы, которая и позволяет найти точное решение по построению, причем p = m/2 есть фокальный параметр (расстояние от вершины параболы до ее фокуса или от вершины до директриссы - они равны)

    т.о. для любого прямоугольника всегда можно построить циркулем и линейкой параболу, которая имеет вершину в одном угле этого прямоугольника и пересекает противоположный угол. верно и обратное - если задана парабола, то всегда можно построить прямоугольник заданной площади который пересекается с параболой в двух своих противоположных углах

    а вот для эллипса и гиперболы такую задачу гладко уже не решить - нужен дополнительный член q*y, положительный (избыток - по гречески "гипербола") для гиперболы и отрицательный (недостаток - по гречески "эллипсис"). это означает, что построить с помощью циркуля и линейки описанный эллипс или гиперболу, проходящую через противоположные углы заданного прямоугольника может и не получиться

    у параболы есть "главная ось" - прямая, проходящая через ее фокус и через ее основание. любой луч, параллельный главной оси, отразившись от параболической "зеркальной" поверхности, обязательно пройдет через фокус параболы. и наоборот, любой луч, выпущенный из фокуса, отразившись пойдет по прямой, которая паралельна главной оси

    если вы возьмете абсциссы любых двух точек на параболе, затем проведете касательные из этих двух точек, затем найдете асциссу точки где касательные пересекаются, то получите на оси OX точку, которая делит отрезок между двумя абсциссами первоначально выбранных вами точек ровно пополам

    площадь под графиком параболы от нулевой точки до точки а равна ровно 1/3 от площади прямоугольника со сторонами [0,а] (по оси абицисс) и [0,а²] (по оси ординат), что неудивительно, ибо

        a
        ∫ x² dx = a³/3
        0 

    квадратные корни - парабола - дискриминант

                   a * x² + b * x + c       = 0
                   a * x² + b * x           = -c
          4 * a * (a * x² + b * x)          = -4 * a * c
          4 * a * (a * x² + b * x) + b²     = b² - 4 * a * c
      (2 * a * x)² + 4 * a * b * x + b²     = b² - 4 * a * c
                      (2 * a * x + b)²      = b² - 4 * a * c
                       2 * a * x + b        = sqrt (b² - 4 * a * c)
                               x            = [- b ± sqrt (b² - 4 * a * c)] / (2 * a)
    
                x1 + x2 = - b / (2 * a)      x1 * x2 = c / a
    
                если сумма и произведение положительны, то корни положительны
                если произведение отрицательно, то один корень отрицателен
    
                если а < 0 то ветви параболы смотрят вниз
                если b < 0 то вершина параболы справа от оси ординат 

    парабола - связная, неограниченная, не содержит прямых

    эллипс

    эллипс - связное ограниченное множество, в котором больше одной точки

    пусть требуется найти точки, лежащие на расстоянии r1 от пункта А и на расстоянии r2 от пункта B. строим окружности соответствующих радиусов - искомые точки будут точками пересечения

    если же теперь менять r1 и r2, но так, чтобы их сумма оставалась постоянной, то все точки пересечения образуют эллипс с двумя фокусами в A и в B

    гипребола

    гипербола - несвязное множество (а остальные коники - связны)

    пусть требуется найти точки, лежащие на расстоянии r1 от пункта А и на расстоянии r2 от пункта B. строим окружности соответствующих радиусов - искомые точки будут точками пересечения

    если же теперь менять r1 и r2, но так, чтобы их разность оставалась постоянной, то все точки пересечения образуют две ветви гиперболы с двумя фокусами в A и в B

    пересечение поверхности второго порядка с прямой

    пусть поверхность задана уравнением:

        F (x, y, z) = 0
    и прямая задана уравнениями:
        x = x0  +  a * t
        y = y0  +  b * t
        z = z0  +  c * t 
    пусть все коэффициенты в уравнениях - веществены

    нетрудно заметить, что имеют место равенства:

        F1 (x, y, z)  =   ∂F/∂x   =  a11 * x  +  a12 * y  +  a13 * z   +  a10
        F2 (x, y, z)  =   ∂F/∂y   =  a12 * x  +  a22 * y  +  a23 * z   +  a20
        F3 (x, y, z)  =   ∂F/∂z   =  a13 * x  +  a23 * y  +  a33 * z   +  a30

    тогда уравнение множества точек пересечения прямой и поверхности:

        Ф * t²  +  2 * B * t  +  C  =  0
    где
        B  =  a  *  F1 (x0, y0, z0)  +
              b  *  F2 (x0, y0, z0)  +
              c  *  F3 (x0, y0, z0)
    
        C  =        F  (x0, y0, z0) 


    поверхности второго порядка в ℝ³

    в классификации выделяют (пересекающиеся) группы поверхностей: цилиндры, параболоиды, конусы, гиперболоиды

    цилиндры

    рассмотрим случай, когда одна из переменных x, y , z фактически не входит в уравнение, так как соответствующий коэффициент равен 0. будем считать, что это z. тогда остается уравнение, в которое входят только x и y , но оно рассматривается как уравнение от трёх переменных x,y,z. так как уравнение не зависит от z, множество решений равно M × R, где M ⊂ ℝ² - множество решений в xy-плоскости. такое множество называется цилиндром над M. так как M - квадрика на плоскости, классификация цилиндрических квадрик в ℝ³ получается из классификации квадрик в ℝ². вот список типов цилиндрических квадрик:

    1. над ∅ - ∅
    2. над точкой - прямая
    3. над прямой - плоскость
    4. над парой параллельных прямых - параллельные плоскости
    5. над парой пересекающихся прямых - пересекающиеся плоскости
    6. над параболой - параболический цилиндр
    7. над эллипсом - эллиптический цилиндр
    8. над гиперболой - гиперболический цилиндр

    параболоиды

    параболоиды - решения уравнений, в которых в простейшем виде есть линейный член, т.е. вида

        a*x² + b*y² + c*z = 0
    которое делением на константу приводится к виду
        z = a₁*x² + b₁*y² 
    т.о. поверхность является графиком квадратичной формы. числа a и b не могут быть оба нулями. можно считать, что a≠0 (иначе переобозначим x и y). если a<0, поменяем направление оси z, получим уравнение того же вида с коэффициентом −a при x². поэтому достаточно рассмотреть случай a>0

    в зависимости от знака b есть три вида параболоидов:

    1. b > 0 - эллиптический параболоид
    2. b < 0 - гиперболический параболоид
    3. b = 0 - параболический цилиндр (он уже был в списке цилиндров) под пунктом 6

    NB: параболоиды (включая параболический цилиндр) - те и только те квадрики, у которых нет центра симметрии

    конусы, элипсоиды, гиперболоиды

    осталось разобрать уравнения вида

        a*x² + b*y² + c*z² + d = 0, где a, b, c ≠ 0

    сначала разберём случай d = 0. заметим, уравнение можно умножить на -1 и добиться того, что среди a, b и c - положительных больше, чем отрицательных. после этого остаётся два подслучая
    1) a, b, c > 0
    тогда a * x² + b * y² + c * z² ≥ 0 с равенством только при x=y=z=0. множество решений - точка
    2) среди a, b и c - два положительных числа и одно отрицательное
    это эллиптический конус (если, например, a,b>0 и c<0, то это конус, порожденный эллипсом a * x² + b * y² = 1 - c в плоскости z=1)

    осталось разобрать случаи когда d ≠ 0

    если в уравнении все знаки - минусы, то оно задаёт пустое множество

    это заканчивает перечисление квадрик в ℝ³