первое сводное сочинение по теории поверхностей "Приложение анализа к геометрии" написано Монжем в 1795г. в 1827г. Гаусс опубликовал работу "Общее исследование о кривых поверхностях". Риман в своей лекции "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии" (1854) заложил основы римановой геометрии. теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его эрлангской программе "Учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии" была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности
дифференциальная геометрия изучает гладкие многообразия с дополнительными структурами: рассматриваются локальные инварианты - кривизна, кручение и связность
кривую на Евклидовой плоскости можно задать
Def: гладкая регулярная элементарная плоская кривая - это множество точек плоскости, координаты которых заданы параметрически :
x ∈ ℝ²
x1 = f1(t)
x2 = f2 (t) с физической точки зрения такая прямая есть траектория движения материальной точки, а параметр t рассматривается как время. при этом :
если кривая γ - нерегулярна, то существуют особые точки, в которых γ' = 0
с физической точки зрения длинна сегмента кривой равна интегралу модуля вектора скорости (первая произодная приращения координат) :
L = t₁∫t₂ |γ'| dtгде t₁ < t₂ - границы отрезка параметра t для данного сегмента кривой
внутренней геометрии у кривых - нет. все что можно узнать находясь в пространстве кривой - лишь длинна пути вдоль кривой, считая краткий отрезок кривой за прямую линию и суммируя такие отрезки
любую окружность на плоскости можно задать ее центром x0 и радиусом r. определив луч отсчета углов любую точку на окружности можно представить как
x = x0 + r ⋅ (cos φ , sin φ) где φ - угол дуги
рассмотрим точку гладкой регулярной плоской кривой. в любой ее точке крошечный участок кривой может быть апроксимирован окружностью, центр которой x0 лежит на линии, совпадающей с внутренней нормалью этой кривой в данной точке, а радиус r обратен модулю вектора ускорения (вторая производная приращения координат) в данной точке. этот радиус называется радиусом кривизны в данной точке кривой, а сам вектор ускорения называется кривизной
Def : отнормированная пара векторов - скорости (v) и нормали (n) - образуют плоский репер Френе в данной точке кривой. тогда кривизна (k) в данной точке кривой - это скорость вращения плоского репера Френе в данной точке. при этом :
v' = k ⋅ n
n' = -k ⋅ v
* * *
есть облась U ⊂ ℝ² с координатами (u1,u2) и задано отображение ее в ℝ³. в параметрическом виде поверхность задается радиус-вектором
r (u1, u2) = (x1 = f1 (u1, u2), x2 = f2 (u1, u2), x3 = f3 (u1, u2))
где x1, x2, x3 - эвклидовы координаты трехмерного пространства
условие регулярности :
rank ∂xi/∂uj = 2
касательное пространство любой точки образа - двумерно
нормальное пространство любой точки образа - одномерно (коразмерность 1)
пусть мы рассматриваем в ℝ³ гладкую поверхность, в каждой точке которой определена нормаль. каждой точке P поверхности мы сопоставляем вектор нормали, перенесенный в начало координат ℝ³. так как вектор нормали по определению - единичной длины, то его конец будет лежать при этом на сфере единичного радиуса с центром в начале координат. таким образом, каждой точке поверхности сопоставляется точка на сфере. это отображение и называется сферическим
Def: отображение Гаусса (отображение Родрига, сферическое отображение) — отображение из гладкой поверхности в трёхмерном эвклидовом пространстве в единичную сферу S², при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке, с началом в точке отсчета пространства
Якобиан матрицы отображения Гаусса для данной точки равен гауссовой кривизне поверхности в данной точке
сферическое (гауссово) отображение поверхности является построенной в бесконечности поверхностью, параллельной исходной
если взять на плоскости два вектора и подействовать линейным преобразованием, то отношение площадей образа и прообраза будет равно определителю матрицы линейного отображения. при сферическом отображении определитель матрицы отображения есть ориентированная площадь соответствующая этому отображению, поэтому гауссову кривизу в точке поверхности можно понимать как отношение площади образа к площади прообраза
пусть дана пара векторов в ℝ³, (a, b). запишем очевидное равенство для векторов a и b
|a|² ⋅ |b|² ⋅ cos²φ + |a|² ⋅ |b|² ⋅ sin²φ = |a|² ⋅ |b|²
по определениям скалярного и векторного произведений :
(a ⋅ b)² + (a ⨯ b)² = |a|² ⋅ |b|² эт.е. тождество Лагранжа
пусть даны две пары векторов в ℝ³ : (a, b) и (u, v). тогда
(u ⨯ v) ⋅ (a ⨯ b) = det | u ⋅ a u ⋅ b
v ⋅ a v ⋅ b |
дифференциал есть оператор, действующий в пространстве функций, который производит линейную аппроксимацию функции в каждой точке ее области определения. вот. а теперь - пусть функция задает геометрический обьект
Def: дифференциал - это линейная часть аффинной аппроксимации данного нелинейного отображения f в данной точке a ∈ ℝⁿ :
f : ℝⁿ → ℝⁿ
f x = (f a) + J * (x - a) + o(|x - a|) где J - матрица Якоби
J = ( ∂f₁/∂x₁ ∂f₁/∂x₂ ⋯ ∂f₁/∂xₙ
∂f₂/∂x₁ ∂f₂/∂x₂ ⋯ ∂f₂/∂xₙ
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
∂fₙ/∂x₁ ∂fₙ/∂x₂ ⋯ ∂fₙ/∂xₙ ) для векторной функции преобразования
f x = ( f₁ x, f₂ x, ..., fₙ x ) действующией на аргумент-вектор:
x = ( x₁, x₂, ..., xₙ )
NB: нотация частной производной крайне неоднозначна: смысл выражения f'x=∂f(x,y)/∂x зависит от того, какая именно переменная выбрана в качестве y
до тех пор, пока мы пользуемся линейными системами координат, мы имеем простое соответствие между векторами и точками в аффинном пространстве ℝⁿ и нам безразлично, в какой точке выбран репер
квадрат длины вектора u в декартовых координатах записывается "по Пифагору", с помощью квадратичной формы с единичной матрицей метрического тензора:
<u , u> = u⁺ ⋅ E ⋅ u
<u , u> = Σ ui²
скалярное произведение двух векторов u и v записывается с помощью билинейной формы
<u , v> = u⁺ ⋅ E ⋅ v
<u , v> = Σ ui ⋅ vi
в области U ⊂ ℝⁿ перейдем к нелинейной системе координат, которая задается диффеоморфизмом
ψ : W → U
где W - другая область в ℝⁿ
<u1 , u2> = w1⁺ ⋅ J⁺ ⋅ J ⋅ w2
итак, скалярное произведение векторов в точке записывается в нелинейной системе координат с помощью матрицы Максима :
myfun (x1, x2, x3) := ( w1c : [1,1,1] , w1v : transpose (w1c) , w2c : [2,3,4] , w2v : transpose (w2c) , p : sqrt (r * r + h * h) , f : atan (r / h) , g : t , j : jacobian ([p, f, g], [r, t, h]) , jt : transpose (j) , fpprec : 4 , us : float (ev (w1c . jt . j . w2v , r = x1 , t = x2 , h = x3)) , ws : float (w1c . w2v) , display (us , ws) ) $
в результате мы получили поле билинейных форм в ℝⁿ - функция, которая каждой точке в ℝⁿ (или в области из ℝⁿ) ставит в соответствие билинейную форму в векторном пространстве V. такое поле считается гладким, если коэффициенты этих форм являются гладкими функциями в какой-нибудь (и тогда - в любой) гладкой системе координат (например, в декартовой). нас будут интересовать симметричные билинейные формы
рассмотрим пространство квадратных симметрических матриц n⨯n. это линейное подпространство в пространстве всех квадратных матриц. оно имеет размерность
Def: в области X ⊂ ℝⁿ задана риманова метрика, если для любой невырожденной криволинейной системы координат (z1,...,zn) в X задана матрица gij(z) такая, что она:
gij(v₁,..,vₙ) = glp(z₁,...,zₙ) * (∂zl∂zp)/(∂vi∂vj) при движении вдоль кривой её касательная меняет направление. скорость поворота (отношение угла поворота за малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой - называется кривизной. производная по времени положительного единичного вектора касательной называется вектором кривизны кривой. то и другое - функции точки кривой. кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны
прямые (и только они) имеют всюду равную нулю кривизну. кривизна выражает насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой: чем ближе кривизна к нулю, тем меньше отличие (например - кривизна окружности радиуса R равна 1/R, т.е. окружность в пределе R→∞ становится прямой)
дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет ЕДИНСТВЕННУЮ касательную плоскость
итак: кривизна линии на плоскости - это вторая производная радиус-вектора. кривизна прямой линии равна нулю. кривизна окружности радиуса R равна R⁻¹. радиусом кривизны называется величина обратная к кривизне
две кривые, которые можно было бы отождествить с точки зрения топологии, не являются тождественными с точки зрения дифференциальной геометрии: пример - окружность и эллипс (и даже - две окружности с разными радиусами) топологически эквивалентны
у (гладкой) поверхности имеются две кривизны - Гауссова и средняя. Гауссова вычисляется "без выхода" в пространство ℝ³, например так: длина окружности радиуса r с центром в m. эту кривизну может вычислить и плоская букашка, живущая на поверхности - для введения кривизны достаточно уметь измерять расстояния на поверхности. как же это сделать? рассмотрим полное пространство с метрикой, построим там (маленький) треугольник из геодезических, нарисуем в модельной плоскости кривизны κ треугольник сравнения (с теми же длинами сторон). скажем, что исходный геодезический треугольник κ-толстый, если его медианы больше, чем у треугольника сравнения. если все (достаточно маленькие) треугольники в пространстве - κ-толстые, то скажем, что оно - "пространство кривизны не менее κ"
Def: средняя кривизна - это сумма "принципиальных" кривизн - трейс матрицы Гессе
>> кривизна поверхности, это как бы абсолютная штука или она возникает только потому что у нас есть еще и третье измерение?
абсолютная
>> если бы мир был одномерным, могли бы мы тогда определить, на прямой он находится или на кривой?
не могли бы. у одномерного многообразия нет внутренней кривизны - эти эффекты начинаются лишь с двумерного случая
главными кривизнами поверхности z=f(x,y) в неособой точке (x₀,y₀,z₀) в которой grad f = 0 называются собственные значения матрицы Гессе
Гауссовой кривизной называется детерминант матрицы Гессе - Гессиан
средней кривизной называется трейс матрицы Гессе
при положительной кривизне локально поверхность лежит по одну сторону от касательной плоскости в изучаемой точке. если гауссова кривизна всюду положительна - то поверхность строго выпукла
при отрицательной кривизне поверхность обязательно пересекает касательную в окрестностях изучаемой точки
листинг Хаскеля и все можно увидеть в гнуплоте:
set size square plot "rez.dat" with vectors pause -1
каждая составляющая любой кривизны в точности равна соотвтетсвующему гессианну в точке (в данном конкретном случае - равна 2 в любой точке для обеих орт)
если изменить параметры, чтобы кривая перестала быть окружностью и стала эллипсом, то кривизна перестанет быть одинаковой для всех точек:
то же самое в СКА Maxima
(%i6) ellipce : x^2 / a + y^2 / b - 1 $
hessian (ellipce , [x , y]) ;
(%o6) matrix (
[ 2/a, 0 ] ,
[ 0, 2/b ]
)
или же так:
(%i1) M : read_matrix ("rez.dat") $
(%i3) N : transpose (M) $
(%i4) A : hessian ((x^2 + y^2 - 1), [x , y]) ;
(A) matrix(
[2, 0],
[0, 2]
)
(%i5) K : A . N $
(%i6) plot2d ([discrete, K[1], K[2]], [style, points], [color, red]) $
рассмотрим касательную плоскость в точке регулярной поверхности вложенной в пространство ℝ³. на ней определены две квадратичные формы gij и bij. первая - симметричная, положительно определенная, а вторая - симметричная, но не обязательно - положительно определенная (может быть и неопределенная и отрицательно определенная)
Def: первая квадратичная форма (первая фундаментальная форма) поверхности - квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки
первая квадратичная форма определяется как :
g = ⟨ru , ru⟩ d²u + 2 * ⟨ru , rv⟩ du dv + ⟨rv , rv⟩ dv²
( ru ⋅ ru ru ⋅ rv ( du
(du , dv) ru ⋅ rv rv ⋅ rv ) dv )
коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через
E = |ru|²
F = ⟨ru, rv⟩
G = |rv|²
матрицу первой квадратичной формы называет матрицей Якоби
Def: вторая квадратичная форма (вторая фундаментальная форма) поверхности - квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая (в отличие от первой квадратичной формы) определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки
вторая фундаментальная форма подмногообразий для точки, заданной радиус-вектором r определяется как:
b = (∇u ⋅ v)⊥
где правая часть обозначает проекцию ковариантной производной в точке на нормальное пространство в этой же точке. итак, вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве, но со значениями в нормальном пространстве
вторая квадратичная форма характеризует степень отклонения второго дифференциала r от касательной плоскости T
матрица второй квадратичной формы называется матрицей Гессе
если в каждой точке некоторой области поверхности вторая квадратичная форма равна нулю, то это тогда и только тогда, когда эта точка области плоскости
если вторая квадратичная форма равна нулю в какой-то параметризации, то она - ноль и в любой другой - в силу закона преобразования при замене координат
исторически первую и вторую квадратичные формы обозначали матрицами
gij = ( E F
F G )
bij = ( L M
M N )
рассмотрим касательную плоскость TM в точке регулярной поверхности M. в этой плоскости существует ортонормированный базис e1,e2 так, что в этом базисе первая и вторая квадратичная форма принимают вид:
gij = ( 1 0
0 1 ) = A
bij = ( λ1 0
0 λ2) = B
числа λk(собственные значения) определяются из соотношения
det (B - λ * A) = 0
а собственные векторы из соотношения
(bij - λk * gij ) * ejk = 0
где ejk - компоненты в базисе касательного пространства ∂r/∂ui
рассмотрим некоторый ненулевой вектор v ∈ TM и нормальное сечение в этом направлении. обозначим угол между v и e1 через ϕ. тогда имеет место следующая теорема
Th Эйлера: кривизна нормального сечения выражается по формуле
k = λ1 ⋅ cos²ϕ + λ2 ⋅ sin²ϕ собственные значения λ1 и λ2 называются главными кривизнами поверхности в точке, а векторы e1 и e2 - главными направлениями, соответствующие главным кривизнам
если теперь рассмотрим в качестве v вектор e1, т.е. ϕ=0, то k1=λ1. соответственно, если рассмотрим в качестве v вектор e2, тогда ϕ=π/2 и k2=λ2. главные направления определены однозначно, если λ1≠λ2. если же λ1=λ2, то из теоремы Эйлера следует, что в любом направлении k=λ1=λ2
если в точке главные кривизны совпадают, то такая точка называется омбилической. на сфере все точки являются омбилическими λ1=λ2=1/R
если главные кривизны не совпадают, то они являются минимальным и максимальным значениями кривизн семейства нормальных сечений в точке
Def: Гауссовой кривизной поверхности в точке называется величина K = λ1 * λ2
K = b/g = (b11 * b22 - b21²) / (g11 * g22 - g12²)
рассмотрим поведение Гауссовой кривизны поверхности в точке :
координатные линии являются линиями кривизны в окрестности неомбилической точки тогда и только тогда, когда обе квадратичные формы в этой точке - диагональны (g12=b12=0)
Гаусс сформулировал и доказал ее в своем труде "Disquisitiones generales circa supercifies curvas", в 1828 году. он подчеркнул важность этой теоремы ее названием - блистательная теорема
Гауссова кривизна K - внутренний инвариант поверхности (т.е. не зависит от способа вложения поверхности в пространство), хотя главные кривизны k1, k2 этим свойством не обладают
для поверхностей, изометричных плоскости (и только для них), K = 0
для поверхностей, у которых K = const, угловой избыток|недостаток
на сфере радиуса 1 K=1, поэтому сумма углов геодезического треугольника есть
α1 + α2 + α3 = π + S
кривизна плоскости Лобачевского в каждой точке −1, и на ней
α1 + α2 + α3 = π - S
при обходе по замкнутому контуру на сфере радиуса 1 касательный вектор повернется на угол
△ω = kg ds = 2π - S и чем больше радиус обхода, тем меньше △ω
на плоскости Лобачевского при аналогичных обходах
△ω = kg ds = 2π + S и чем больше радиус обхода, тем больше окажется вращение касательного вектора за один обход
* * *
Def: нормальная кривизна есть отношение определителя второй квадратичной формы к определителю первой квадратичной формы
Def: средней кривизной называется величина H = (λ1 + λ2) / 2
H = (det (g11 b21, g12 b22) + det (b11 g12, b21 g22)) / (2 * (g11 * g22 - g12²))
уже в трехмерном пространстве одной кривизны не хватает для полной характеристики линии и используется кручение
Def: кручение линии в трехмерном пространстве - это производная от векторного произведения производной и второй производной радиус-вектора
в двумерном случае кручение равно нулю, поскольку векторное произведение производной и второй производной радиус-вектора всегда const
рассмотрим вектор бинормали в точках s и s+∆s и их разность:
b(s + ∆s) - b(s) = b'(s) ∆s + o(∆s)
векторы b(s + ∆s) и b(s) являются единичными, а угол между ними ∆ϕ с точностью до бесконечно малых равен длине их разности:
∆ϕ = |b(s + ∆s) - b(s)| + o(∆s) =
b'(s) ∆s + o(∆s) + o ∆s) ⇔
∆ϕ/ ∆s = |b'(s) + o(1)| + o(1) = b'(s)
т.е. кручение пространственной кривой есть скорость вращения соприкасающейся плоскости
при движении вдоль кривой в окрестности заданной точки соприкасающаяся плоскость вращается, причём касательная к кривой является мгновенной осью этого вращения. скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется "кручением". направление вращения определяет знак кручения
трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определённое "кручение". для прямой "кручение" не определено, поскольку неоднозначно определяется соприкасающаяся плоскость. плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением - плоская
кривизна и кручение - полный набор геометрических инвариантов для линий в эвклидовом пространстве. но эти инварианты - понятия внешней геометрии - никаких внутренних метрических инвариантов на линии не бывает. это означает, что вдоль линии можно выбрать параметр так, что длина отрезка линии будет измеряться так же, как длина отрезка прямой. а вот для поверхностей это уже не так: никаким образом нельзя задать координаты на сфере так, чтобы формула длины была такая же, как формула длины в декартовых координатах
связность - структура на гладком расслоении, состоящая в выборе "горизонтального направления" в каждой точке пространства расслоения. название "связность" происходит от того, что посредством неё связываются касательные пространства в разных точках многообразия. именно связность организовывает структуру касательного расслоения - связность позволяет переносить геометрические объекты из одной области многообразия в другую и просто необходима для сравнения объектов в окрестностях разных точек многообразия
в любом гладком расслоении есть связность общего вида - распределение, которое в каждой точке пространства выделяет n-мерное касательное направление, трансверсиальное к проходящему через эту точку слою (т.е. проектирующююся без вырождений). эти направления называются "горизонтальными направлениями связности"
в гиперболической геометрии (Лобачевского) эквидистанта не является геодезической, а масштабирование фигуры не является конформной операцией - например сумма углов инфинизимального треугольника "почти что π", а если его масшатибровать, то она уменьшается ("почти что до 0", если фактор масштабирования приближается к ∞)