в предисловии к I книге "Konica", обращенном к Евдему, Аполлоний дал краткий обзор всех восьми книг своего труда:
"Четыре первые из этих восьми книг посвящены изложению начал.
Первая книга содержит способ получения трех сечений и "противоположных гипербол", а также их основные свойства, изложенные более полным и более общим способом, чем у других писавших об этом.
Вторая книга - о свойствах диаметров и осей сечений, асимптот и прочего необходимого для обсуждений. Из этой книги ты узнаешь, что я называю диаметрами и осями.
Третья книга содержит много замечательных теорем, полезных для построения телесных геометрических мест и для определения возможностей решений. Большая часть самых прекрасных из этих теорем являются новыми. Из этих теорем видно, что решение Евклида задачи о "геометрическом месте к трем и четырем прямым" было случайным и не совсем удачным, довести эту задачу до конца было невозможно без моих новых открытий.
В четвертой книге рассматривается, сколькими способами конические сечения пересекаются между собой и с окружностью. Эта книга содержит также то, что не было известно ни одному из моих предшественников, а именно, во скольких точках две противоположные гиперболы могут пересекаться одним коническим сечением, окружностью или двумя противоположными гиперболами.
Остальные книги посвящены дальнейшему развитию теории. Одна из них более подробно рассматривает минимумы и максимумы, другая - равные и подобные конические сечения, следующая рассматривает теоремы, определяющие возможности решений, и последняя содержит решения задач"
квадрика - это n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени (квадратичной функции) F(x). в матричном представлении:
F(x) = x⁺ ⋅ Q ⋅ x + P ⋅ x + С = 0
где x - n-вектор, Q - матрица nxn квадратичной формы (предполагается, что хотя бы один её элемент - ненулевой), P n-вектор линейной части (может быть нулевым), С - константа (может быть нулем)
квадрики на эвклидовой плоскости (1-мерные гиперповерхности) обычно называют коническими сечениями. квадрики в трёхмерном действительном эвклидовом пространстве (2-мерные гиперповерхности) называют кониками
ващета множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как "алгебраическое многообразие". т.о., например коническое сечение является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1
проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в эвклидовом пространстве можно привести к нормальной (канонической) форме. в трёхмерном эвклидовом пространстве существует 17 таких форм. из них 5 являются невырожденными (т.е. соответствующая им квадратичная форма Q является невырожденной). вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек
если уравнение квадрики умножить на ненулевое число, то множество решений уравнения не изменится
два уравнения квадрики называются аффинно-эквивалентными, если от одного к другому можно перейти в результате аффинного преобразования
любая поверхность второго порядка - аффинно-эквивалентна одной из 17 поверхностей:
поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n=2 существует ровно три класса эквивалентности:
в комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики - эквивалентны
множество точек, где квадртатичная форма равна 1 называется индикатриссой квадратичной формы . она характеризуется тем, что существует центр симметрии коники, не лежащий в идикатриссе
невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой - в зависимости от того, будет ли Q положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:
λ² − I * λ + D = 0
выберем на плоскости точку F и прямую d и зададим вещественное число μ ≥ 0. тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F и до прямой d отличается в μ раз, является коническим сечением. точка F называется фокусом конического сечения, прямая d - директрисой, число μ - эксцентриситетом. в зависимости от эксцентриситета, получится:
в декартовых координатах (x,y), конические сечения описываются квадратным многочленом:
A ⋅ x² + B ⋅ x ⋅ y + C ⋅ y² + D ⋅ x + E ⋅ y + F = 0
иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. знак дискриминанта
B² − 4 ⋅ A ⋅ C = K
определяет тип конического сечения:
в полярных координатах (ρ, θ) с центром в одном из фокусов и нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением
ρ ⋅ (1 + μ ⋅ cos θ) = λ
где μ обозначает эксцентриситет, а λ фокальный параметр
все коники выглядят на проективной плоскости S² как эллипсы
проведем из любой точки P, лежащей вне эллипса, две касательные к нему. пусть они касаются эллипса в точках X и Y. тогда углы F₁PX и F₂PY равны (F₁ и F₂ - фокусы эллипса). то же самое и с гиперболами
если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ попадет на директрису. получившаяся точка будет проекцией на директриссу точки, в которой касательная касается параболы
если PX и PY - касательные к параболе, то проекция точки P на директрису будет серединой отрезка с концами в проекциях точек X и Y
все можно посмотреть в гнуплоте:
hiper (x, y) = x * x - y * y ellips (x, y) = x * x + y * y parabola (x, y) = x * x + x * y set pm3d splot parabola (x, y) print "нажмите Enter для продолжения работы ... " pause -1 splot ellips (x, y) print "нажмите Enter для продолжения работы ... " pause -1 splot hiper (x, y) print "нажмите Enter для продолжения работы ... " pause -1
результаты :
F (x, y, z) = 0
F (x, y, z) = a11 * x² + a22 * y² + a33 * z² +
a12 * x * y + a13 * x * z + a23 * y * z +
a10 * x + a20 * y + a30 * z +
a00
= 0
Q = ( a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33 )
R = ( a10
a20
a30 )
A = ( a11 a12 a13 a10 = (
0 a22 a23 a20 Q R
0 0 a33 a30
0 0 0 a00 ) 0 0 0 a00 )
( x
y
z
( x y z 1 ) * A * 1 )при смене базиса ранги этих матриц не меняются, а детерминанты сохраняют знак и умножаются на квадрат детерминанта матрицы перехода. если же преобразование - лишь сдвиг, то детерминанты остаются неизменными. знак детерминанта A не меняется при умножении ее на любой ненулевой множитель, а знак детерминанта Q при умножении на -1 меняется
все можно посмотреть в гнуплоте:
#! /home/user/.nix-profile/bin/gnuplot set hidden3d set dgrid3d 40,40 qnorm 2 splot 'surface.dat' with lines pause -1
вот файл для подготовки данных на Хаскеле
теперь: образцы файлов "matrix.dat":
файл матрицы A:
-2 0 1 -2
1 -3 -2
-3 -2 и результат: 
другой файл матрицы A:
2 0 1 -2
1 -3 -2
2 -2 и результат:
другой файл матрицы A:
-2 0 1 -2
-1 -3 -2
-2 -2 и результат:
и еще один файл матрицы A:
-3 0 0 -2
-2 0 -2
2 -2 и результат: 
и еще один файл матрицы A:
3 0 0 -2
-2 0 -2
2 -2 и результат:
у вас есть эллипсоид с центром в начале координат (сплюснутый с разных сторон шар), как у всякого эллипсоида, у него есть полуоси, три разных положительных числа (совпадающие друг с другом, если это несплюснутый шар). можно ли найти направления самих осей?
вопрос кажется дурацким и не имеющим ответа в принципе: верти эллипсоид как хочешь, и можно его оси направить по любым трём взаимно перпендикулярным направлениям. надо иметь какую-то информацию о расположении эллипсоида относительно ваших координатных осей
рассмотрим сечения эллипсоида тремя координатными плоскостями. как положено, каждое такое сечение есть эллипс (сплюснутый круг), и у каждого из трёх эллипсов есть две (своих) полуоси. вам их сообщают, таким образом, косвенно давая информацию о расположении исходного эллипсоида. итого 3х2+3=9 чисел (не все они независимы). можно ли теперь сказать, как расположен в трёхмерном пространстве исходный эллипсоид?
оказывается, можно. и даже явная формула не слишком страшна. более того, как оказалось, что такая постановка задачи всплывала то здесь то там начиная аж с 1834 года, но так и не стала частью стандартного toolkit'a, а поэтому переоткрывалась не раз и не два
описанная геометрическая задача кажется надуманной: почему эллипсоиды? почему вдруг именно полуоси? чем так выделены координатные плоскости?
на самом деле, конечно, здесь очень много разной математики. квадратичные формы (которые собственно и описывают эллипсоид) - главный инструмент при описании колебаний многочастотных систем, при этом, полуоси эллипсоида - собственные частоты системы, а ограничения квадратичных форм на подпространства - описывают поведение собственных частот при наложении на систему внешних связей/ограничений
пример подобной задачи (от Арнольда) - как изменится тембр колокольного звона, если в колоколе появляется трещина?
так что постановка задачи вовсе не такая искусственная, как можно было бы подумать с первого взгляда