Каждому ясно, что ветви гиперболы «уходят на бесконечность», но точный смысл эти слова приобретают лишь в проективной геометрии - науке, возникшей при математическом анализе «сходящихся» вдали рельсов изображения железной дороги, прямо уходящей к горизонту
Наименование «проективная геометрия» происходит от проектирования друг на друга двух плоскостей, производимого лучами, проходящими через одну «точку наблюдения» O:
Математический аппарат проективной геометрии использует проективную плоскость, получающуюся из обычной плоскости добавлением к ней так называемых бесконечно удаленных точек. Вот как она определяется
Рассмотрим в трехмерном эвклидовом пространстве какую-либо точку O и все прямые, проходящие через эту точку. Эти прямые объявляются точками проективной плоскости ℝℙ². Чтобы описать множество всех этих прямых (т. е. множество всех точек вещественной проективной плоскости ℝℙ²), можно поступить следующим образом
Зафиксируем в нашем пространстве какую-либо плоскость P, не проходящую через выбранную точку O
Каждой точке A плоскости P соответствует прямая a=AO, проходящая через точку O. Таким образом, мы получим почти все точки a проективной плоскости ℝℙ² из точек A обычной эвклидовой плоскости P. Предположим теперь, что точка A движется по плоскости P, уходя по какому-нибудь направлению в бесконечность. Соответствующая прямая a=OA будет тогда поворачиваться вокруг точки O, и в пределе (при A→∞) будет стремиться ко вполне определенной прямой a∞ (параллельной плоскости P, но проходящей через точку O)
Вещественная проективная плоскость ℝℙ² получается из изоморфной плоскости P «аффинной части» (состоящей из непараллельных плоскости P прямых вида a=OA) и еще множества всех «бесконечно удаленных» точек (вроде a∞), представляющих собой все проходящие через точку O параллельно плоскости P прямые
Чтобы яснее это себе представить, рассмотрим сферу радиуса 1 с центром в точке O. Лучи вида OA проектируют плоскость P на «южное» (обращенное к плоскости P) полушарие этой сферы, «южнее экватора»
Все точки проективной плоскости ℝℙ² изображаются на этой сфере замкнутым южным полушарием с добавлением экватора, соответствующего прямым, параллельным плоскости P и называемым «бесконечно удаленными точками» проективной плоскости. Но каждая такая прямая пересекает экватор не в одной точке, а в двух диаметрально противоположных точках. Поэтому, чтобы перечислить все точки проективной плоскости, следовало бы добавить к южному полушарию сферы не весь экватор, а лишь его половину взяв, например, точки с долготами 0≤ϕ<π. Удобнее, однако, поступить иначе и использовать не только южное полушарие сферы, но и всю сферу, только нужно отождествить на ней каждую точку с диаметрально противоположной точкой. Совершенно таким же образом, для исследования окрестности бесконечно удаленных точек на проективной плоскости удобно использовать в качестве карты всю поверхность нашей сферы (в окрестности экватора). Дело в том, что, подобно тому как Земля устроена совершенно одинаково и на разделяющем Западное и Восточное полушария меридиане, и в других местах, проективная плоскость в окрестности бесконечно удаленных точек обладает совершенно такими же свойствами, как и в окрестности «конечных» точек своей аффинной части (изоморфной исходной плоскости P)
* * *
Гипербола превращается на проективной плоскости в замкнутую связную кривую (топологически - эллипс или окружность). Действительно, гипербола пополняется при переходе к проективной плоскости двумя бесконечно удаленными точками B=B’ и D=D’:
Как выглядит парабола на проективной плоскости? Единственная бесконечно удаленная точка C=C’ параболы дополняет ее до замкнутой гладкой кривой, касающейся прямой бесконечно удаленных точек в этой своей бесконечно удаленной точке:
Нарисовать в окрестности ее бесконечно удаленной точки кубическую параболу, заданную в декартовых координатах эвклидовой плоскости формулой y=x³
Ответ. Кубическая парабола дополняется своей единственной бесконечно удаленной точкой C=C’ до негладкой замкнутой кривой (с полукубической точкой возврата):
Пример эллипса, гиперболы и параболы, становящихся на проективной плоскости топологически неразличимыми, подсказывает, что топологическую классификацию алгебраических кривых степени n разумнее начинать с исследования их пополнений на проективной плоскости, где классов меньше и ответы проще
Выколем из проективной плоскости одну точку, или даже целую круговую окрестность этой точки. Оставшаяся часть этой проективной плоскости представляет собой гладкую поверхность с краем. Что это за поверхность? Это - лист Мёбиуса, односторонняя (неориентируемая) поверхность
Мёбиус исследовал окрестность бесконечно удаленной прямой, состоящей из добавляемых к аффинной плоскости бесконечно удаленных точек. На сфере, дважды покрывающей проективную плоскость, эта бесконечно удаленная прямая изображается экватором. Поэтому речь идет об окрестности экватора на поверхности сферы, только чтобы перейти от сферы к проективной плоскости, надо отождествить в этой окрестности диаметрально противоположные точки. Обе параллели (скажем, 10° северной широты и 10° южной широты), ограничивающие окрестность, склеиваются при таком отождествлении в одну окружность, так что из (цилиндрической) окрестности получается после склеивания не цилиндр. Как именно производить склеивание, ясно из рисунка: достаточно ограничиться частью окрестности экватора с восточными долготами от 0° до 180°, а склеивать друг с другом только граничные меридианы AB и A’B’ (где точки A и A’ на сфере диаметрально противоположны)
Получается обычное склеивание листа Мёбиуса из прямоугольного листа бумаги ABA’B’: именно так Мёбиус его и изобрел
Возмущение гиперболы. Заметим, что понятие точки перегиба - проективное, точки перегиба можно определить безо всякой метрики - не как точки, где кривизна кривой обращается в нуль, а как точки, где кривая необычно близко касается прямой
Что число (невырожденных) точек перегиба нечетно, Мёбиус вывел из неориентируемости листа Мёбиуса
Из скольких компонент связности может состоять алгебраическая кривая степени n на проективной плоскости ℝℙ²? Этот вопрос решен теоремой Харнака (доказанной еще в XIX веке): Число компонент не превосходит числа g + 1, где g - род римановой поверхности кривой
Формула Римана—Гурвица : род римановой поверхности гладкой алгебраической кривой степени n на комплексной проективной плоскости равен
g = (n - 1) * (n - 2) / 2
Например, прямая имеет одну компоненту (при n=1). В случае n=2 действительно, и эллипс, и гипербола, и парабола на проективной плоскости ℝℙ² состоят из одной компоненты
Рассмотрим график функции z = f(x,y) как поверхность в трехмерном эвклидовом пространстве ℝ³
В окрестностях некоторых точек эта поверхность локально выпукла. Такие точки называются эллиптическими. Пример - поверхность эллипсоида
В окрестности других точек поверхность пересекает свои касательные плоскости по парам пересекающихся кривых (и локально невыпукла). Такие точки называются гиперболическими (пример - поверхность однополостного гиперболоида, все ее точки гиперболичны)
Области эллиптических и гиперболических точек поверхности разделяются кривой параболических точек. Уравнение этой кривой имеет вид H(x,y)=0, где функция H (называемая гессианом функции f) есть определитель, составленный из вторых частных производных функции f
Если f - многочлен степени n, то H - многочлен степени 2n - 4 (для n=4 степень гессиана тоже равна 4, так что параболическая кривая задается на плоскости с декартовыми координатами x и y алгебраическим уравнением степени 4). Сколько компонент связности может иметь параболическая кривая, если f - многочлен степени n (например, при n=4)? Естественно, параболическую кривую можно пополнить бесконечно удаленными точками, считая плоскость ℝ² с координатами x и y аффинной частью проективной плоскости ℝℙ² . Так что имеется два вопроса о числе компонент: можно считать компоненты в аффинной плоскости (где у гиперболы их 2), а можно в проективной (где гипербола связна). Из теоремы Харнака следует, что число компонент связности параболической кривой графика многочлена f степени n=4 (на проективной плоскости) не может превосходить 4. Пример с тремя компонентами построить можно, но достигается ли случай четырех компонент связности для какого-либо многочлена f степени n=4, узнать трудно
Уравнение f(x,y) = 0, где x и y - комплексные переменные, а f - многочлен (вообще говоря, с комплексными коэффициентами), определяет в комплексной плоскости ℂ² с координатами x и y некоторое подмножество размерности два, так как вещественная размерность двумерной комплексной плоскости равна 4, а равенство нулю комплексного числа f(x,y) означает равенство нулю как его вещественной, так и его мнимой части, т. е. представляет собой два уравнения относительно четырех вещественных переменных (Re x, Im x, Re y, Im y)
«Комплексная окружность» задается в ℂ² уравнением x² + y² = 1
Наша задача - исследовать топологическое строение этого двумерного (в вещественном смысле) подмножества четырехмерного (в вещественном смысле) пространства ℂ²
Умножая координату y на i, мы приводим уравнение окружности к виду уравнения гиперболы
x² - z² = 1
Таким образом, с точки зрения комплексной геометрии окружность и гипербола - одна и та же кривая, различаются лишь координаты на комплексной плоскости, в которых записывается уравнение этой кривой. Еще одной заменой координат (X=x+z, Y=x−z) мы приведем уравнение гиперболы к другой стандартной нормальной форме, X*Y=1, т.е. Y= 1/X. Из этого уравнения видно, что комплексная окружность топологически эквивалентна плоскости комплексной переменной X без начала координат, т.е. цилиндру S¹ × R
При приближении X к нулю Y стремится к бесконечности, а при приближении X к бесконечности Y стремится к нулю. Из этого нетрудно вывести, что в комплексной проективной плоскости ℂℙ² комплексная окружность или гипербола (как и вещественная гипербола в ℝℙ²) пополняется двумя бесконечно удаленными точками (одна из которых удалена в направлении оси X плоскости с координатами (X,Y), а другая - в направлении оси Y). Отсюда видно, что комплексная окружность (или гипербола) топологически эквивалентна (гомеоморфна и даже вещественно диффеоморфна) двумерной вещественной сфере:
Подобно тому как на вещественной гиперболе в ℝℙ² точки ее пересечения с бесконечно удаленной прямой (т.е. асимптотические направления гиперболы на аффинной плоскости) ничем не хуже обычных точек, комплексная окружность (или гипербола) в окрестности каждой из своих двух бесконечно удаленных точек столь же хороша, как и в окрестности любой своей точки из плоскости с координатами (X,Y): с вещественной точки зрения она представляет собой гладкую двумерную поверхность в четырехмерном вещественном пространстве
Доказать, что все вещественные окружности, будучи продолженными своими комплексными и бесконечно удаленными точками до кривых в ℂℙ² , имеют две общие для всех таких алгебраических кривых точки
Вычислим бесконечно удаленные точки на комплексификации окружности, заданной уравнением
x² + y² = 1
Это - асимптотические направления (z=±x) гиперболы x²−z²=1, т.е. те бесконечно удаленные точки комплексной проективной плоскости ℂℙ², куда стремятся точки комплексной плоскости ℂ² с координатами (x=t,y=it) и (x=t,y=−it) при стремлении t к бесконечности. Для любой другой окружности (имеющей ведь всегда уравнение вида (x−a)²+(y− b)² = r²) асимптотические направления такие же. Поэтому комплексные бесконечно удаленные точки всех окружностей одинаковы
* * *
многие считают, что любая задача допускает две крайних версии: русская версия есть та, которую никто не сможет упростить, не сделав вопрос тривиальным, а французская - та, которую никто не сможет обобщить еще более. Но в алгебраической геометрии давно сложился один общий принцип, традиционно называемый итальянским (потому что им систематически пользовались замечательные итальянские алгебраические геометры XIX века)
Вот как формулируется этот «итальянский принцип»
Предположим, что мы рассматриваем какое-либо семейство комплексных объектов (например, многообразие ℂⁿ всех комплексных многочленов степени n или многообразие всех плоских алгебраических кривых степени n в комплексной проективной плоскости ℂℙ²). Некоторые объекты семейства будут тогда невырожденными (например, многочлены без кратных корней или алгебраические кривые без особых точек). Другие же объекты вырождаются:
«Итальянский принцип» состоит в следующем:
все невырожденные объекты в семействе комплексных объектов имеют одинаковое топологическое строение (например, все невырожденные многочлены степени n имеют одинаковое число корней и все гладкие алгебраические кривые степени n на комплексной проективной плоскости имеют одинаковый род g)
Основное наблюдение состоит в том, что вырожденность выражается обращением в ноль некоторого комплексного многочлена от значений параметров объектов изучаемого семейства. Например, многочлен имеет кратные корни, если и только если его дискриминант (полиномиально выражаемый через коэффициенты изучаемого многочлена) равен нулю. Точно так же алгебраическая кривая, заданная на комплексной проективной плоскости уравнением f(x,y)=0, где f - многочлен степени n, имеет особые точки, если и только если обращается в нуль некоторый многочлен от коэффициентов многочлена f
Обращение в нуль комплексного многочлена от параметров изучаемых объектов означает, что обращаются в нуль и вещественная, и мнимая части этого многочлена. Поэтому одно такое комплексное условие вырожденности выделяет в пространстве всех изучаемых объектов подмножество вырожденных объектов, имеющее коразмерность 2, а не 1 (как точки на плоскости или кривые в пространстве). Множество вырожденных объектов, имея (вещественную) коразмерность 2, не делит на части все пространство изучаемых комплексных объектов: любые две невырожденные точки A и B этого пространства можно соединить непрерывным путем γ, не пересекающим множество вырожденных объектов (а обходящим это множество коразмерности два)
При движении вдоль такого невырожденного пути изучаемые топологические характеристики объекта (число корней многочлена, род кривой и т.д.) не меняются. Вследствие этого, для вычисления этих общих характеристик всех невырожденных объектов изучаемого семейства достаточно изучить один пример невырожденного объекта: его характеристики доставят информацию обо всех невырожденных объектах семейства
Многочлен степени n
(x - 1) * (x - 2) * … * (x - n)
имеет n различных корней и невырожден. Следовательно, любой многочлен степени n с комплексными коэффициентами, не имеющий кратных корней, имеет ровно n комплексных корней
Тем самым мы доказали «основную теорему алгебры» поскольку из доказанного свойства многочленов без кратных корней вытекает, что и многочлены степени n с кратными корнями имеют не больше n комплексных корней, так как иначе можно было бы предъявить рядом с уравнением с бо́льшим n числом корней, некоторые из которых кратны, уравнение с бо́льшим n числом не кратных корней