математика покера


матожидание (EV) ставки

математическое ожидание (EV) ставки — это тот выигрыш (или проигрыш), который вы в среднем будете иметь со своей ставки, при многократном повторении игровой ситуации

матожидание можно выразить при помощи формулы:     EV   =   W * p   —   L * (1 - p)

пример:

вы делаете ставку на бросок монеты (шансы выпадения орла и решки равны и составляют 1/2), в случае выпадения орла получаете $1, в случае выпадения решки теряете $1. очевидно, что EV этой ставки будет нулевым: EV = 1 * 1/2 — 1 * 1/2 = 0

некто незнакомый с математикой предлагает пари: в случае выпадения орла он выплачивает вам $1.2, а в случае выпадения решки вы теряете $1. тогда EV станет для вас положительным: EV = 1.2 * 1/2 — 1 * 1/2 = 0.1 для него же матожидание ставки становится отрицательным: EV = 1 * 1/2 - 1.2 * 1/2 = -0.1

делайте ставки с положительным EV и избегайте ставок с отрицательным EV


шансы руки (equity)

ауты – это карты, достраивающие руку, которую мы пытаемся вытянуть

NB: ауты – это ТОЛЬКО те карты в колоде, которые дают вам выигрышную руку. а как знать, какая рука будет выигрышной? ответ – никак! вы лишь предполагаете, какая рука (исходя из ставок, борда и имиджа игроков) у оппов и на основании этого уже считатете ауты

ауты нужно рассчитывать ПОСЛЕ сдачи флопа (или терна), а не тогда, когда вы видите только свои карманные карты

для флаш-дро – 9 аутов, 8 аутов для двухстороннего страйт-дро, 4 аута для “дырявого” страйт-дро

чтобы получить шансы руки улучшиться на следующей улице вы:

  1. считаете количество аутов
  2. чтобы получить вероятность улучшения вашей руки в процентах умножайте количество аутов на 2 и добавляйте 1

  3. NB: эти расчеты не годятся, когда на флопе вы (или опп) решились идти ва-банк

расчеты, произведенные подобным образом, дают приблизительный результат, но этого достаточно

вариант Рандлера

если у вас меньше трех аутов - нужно пасовать

если же у вас больше одиннадцати аутов - нужно коллировать (или рейзить)

чтобы быть точным:

        1-3 аута   : ауты * 2
        3-11 аутов : ауты * 2 + 1
        12+ аутов  : ауты * 2 + 2 

например, у вас двухсторонний страйт-дро (8 аутов). умножаете 8 на 2 и прибавляете 1, получается 17%. просто?

вычислить количество аутов, которые составят вам комбинацию, достаточно легко. проблема появляется, когда один из ваших аутов подходит и вашему оппу. это значительно меняет вычисление


шансы банка (pot-odds)

шансы банка - это отношение размера банка, который вы стремитесь выиграть, к размеру вашей текущей ставки

если вы ставите $20, желая выиграть банк размером $100, шансы банка составят 5/1. в том случае, когда шансы банка выше, чем отношение вероятности проигрыша (1-p) к вероятности выигрыша p, ваша ставка имеет положительное EV, когда меньше — отрицательное EV. с шансами банка 5/1 для того, чтобы ставка была оправданной, вероятность выигрыша должна быть не меньше 1/6

шансы банка не всегда точно отражают реальную картину игры

возможный выигрыш может быть больше, чем текущий размер банка, ведь на следующих кругах торговли игроки могут своими ставками увеличить размер банка. в этом случае имеет смысл рассчитать потенциальные шансы банка

для расчета потенциальных шансов банка вы используете не текущий размер банка, а сумму текущего размера банка и предполагаемых будущих ставок ваших оппов

пример

на терне 47A8 и вы с KT имеете бубновый натс-флаш-дро. в банке $100, единственный соперник делает ставку $40. стоит ли вам коллировать?

шансы банка составляют 3.5/1 или 30%

вам известны шесть карт (две карманные карты и четыре общие). две карты сданы противнику, а из оставшихся в колоде сорока четырех карт вам подходят карты бубновой масти. с вероятностью 0.25 одна бубна сдана противнику и с вероятностью 0.06 ему сданы две бубны. таким образом, ваши шансы на выигрыш составляют 8.7/44 или 20%

с такими шансами на улучшение шансы банка не оправдывают колла

однако существует возможность того, что, поймав на ривере натс-флаш, вы сможете получить от своего оппа еще какую-то сумму в банк. в этом случае потенциальные шансы банка могут оправдать колл. разумеется, оценивая потенциальные шансы банка, вам следует учесть манеру игры оппа: будет ли он делать ставку (и если да, то какого размера) в том случае, если на ривере выйдет бубна

пример

игра 5$/10$. на терне только вы и один опп. у вас флаш-дро и 20% собрать флаш (4/1). у оппа две пары. вам нужно ответить на его ставку 20$. в банке 70$. с точки зрения шансов банка для того, чтобы оправдать колл, в банке должно быть по крайней мере 80$, а здесь - только 70$. но в этой ситуации опп делает ставку с готовой рукой - поэтому он будет ставить и на ривере - вне зависимости от того, что придет, и он даже может ответить на ваш рейз. т.е. вы можете получить еще 30$ от вашего оппонента, если соберете флаш. т.о. вы добавляете эту “потенциальную сумму” к текущему размеру банка и видите, что теперь ваш колл - оправдан

важное условие при расчете потенциальных шансов – умение "читать" противников. новиc и фиш принимают глупые решения - когда вы сталкиваетесь с такими игроками, часто вам нужно принимать решение, основываясь на чтении ситуации , а не на шансах. например, если кто-то играет тайтово всю игру и вдруг начинает играть агрессивно после флопа, можно считать, что у него рука-монстр - даже если шансы диктуют вам ответ на ставку, возможно, лучше будет сбросить. то же относится и к чрезмерно агрессивным игрокам - даже если шансы банка диктуют фолд, иногда колл все-же будет лучшим действием

* * *

бывают ситуации, когда вам следует принять во внимание не только возможность увеличения вашего выигрыша за счет будущих ставок оппов, но и возможность увеличения вашего проигрыша за счет ваших будущих ставок. в этих случаях речь идет об обратно-потенциальных шансах банка: — это отношение размера банка к сумме вашей текущей ставки и ставок, которые вы сделаете на следующих кругах торговли


как рассчитать шансы

итак, когда у вас на руках флаш-дро или страйт-дро, вы должны быть в состоянии определить, стоит ли коллировать ставку оппа, используя при этом шансы банка и шансы руки

мы используем шансы банка и шансы на выйгрыш, когда принимаем решение, коллировать или не коллировать ставку (рейз) от оппа

есть два метода, с помощью которых можно рассчитать шансы

  1. метод отношений
  2. процентный метод

они дают одинаковый результат, поэтому какой использовать – дело вкуса

метод отношений

одна очень распространенная ситуация: у вас на руках две червовые карты, и на флопе лежат еще две червы (флаш-дро). предположим, что в розыгрыше два человека – вы и ваш опп. в банке $80 и он ставит $20. что делать вам?

1 рассчитываем шансы руки

нам нужно выяснить вероятность выхода пятой червы на терне – найти отношение карт в колоде, которые нам помогают, к картам, которые нам не помогают

один раз из пяти наш флаш на терне срастется, и четыре раза – нет

2 сравниваем с шансами банка

составим соотношение, используя размер пота и размер ставки

в итоге получаем шансы
- проиграть 4/1
- банка 5/1

это означает, что нам нужно коллировать, поскольку шансы, которые нам предоставляет банк, больше, чем шансы проиграть. и следовательно, на дистанции мы будем выигрывать больше, чем проигрывать

вы должны коллировать, если шансы банка лучше, чем шансы поражения

процентный метод

рассмотрим пример со страйт-дро: в руке 67 и на борде 89Q

ваш опп ставит $30, и общий банк становится $90. мы хотим выяснить, стоит ли коллировать такую ставку

1 рассчитываем шансы руки

для того чтобы узнать вероятность "доезда" страйт-дро со следующей картой, нам надо найти количество аутов. нам нужны четыре пятерки или четыре десятки, что в сумме дает нам восемь аутов

для того чтобы узнать процентную вероятность закрытия нашего страйта на терне, нам нужно умножить число аутов на два и добавить единицу

вероятность закрытия нашего страйта на следующей улице составляет 17%

2 сравниваем с шансами банка

опп ставит $30, делая пот равным $90. для того чтобы попытаться выиграть $90 нам нужно заколлировать $30. но здесь есть один важный момент. при расчете в процентном виде нам нужно добавить к текущему банку и сумму нашего колла, то есть $90+$30 - это очень важно мы получаем, что $30 – это 25% от $120. то есть:
шансы руки : 17%
шансы банка: 25%

поскольку мы теперь знаем, что наш страйт на терне "доедет" лишь в 17%, это означает, что нам можно коллировать ставку величиной не более чем 17% от величины банка, а нам предстоит заколлировать больше - 25%. нужно фолдить. на дистанции мы будем проигрывать деньги, если заколлируем

вы должны коллировать, если процентное эквити вашей руки лучше, чем процентная доля вашей ставки от результирующего банка

пример

ваши карманные карты: TT
карманные карты оппа: 9 9
на префлопе вы рейзите и опп вам ответчает
флоп: T 2 6
вы коллируете, опп идет ва-банк и в этом случае контроль шансов не нужен, но оценим вероятности
опп может победить ваш сет либо получив 99 для каре, либо получив 78 для страйта
для каре у него два аута и вероятность поймать девятку на торне будет 2 * 2 = 4%
вероятность поймать девятку на ривере 1 * 2 = 2%
вероятность получить каре на вскрытии равна произведению этих вероятностей т.е. 0.08%
вероятность достроить страйт на терне равна 8 * 2 + 1 = 17%
вероятность вытянуть страйт-дро на ривере равна 4 * 2 + 1 = 9%
вероятность получить страйт на вскрытии равна произведению этих вероятностей т.е. 1.53%
общая вероятность победы оппа равна сумме этих двух вероятностей т.е. 1.61%

ВОПРОС - ОТВЕТ

почему мы считаем наши шансы только для следующей карты, если должно выйти две? если у нас на флопе флаш-дро, то наши шансы получить флаш на терне составляют примерно 4:1, или 20%. но поскольку есть еще и ривер, не будут ли наши шансы 2:1, или 40%?

хороший вопрос

это одна из серьезнейших ошибок при расчете. когда вы работаете с шансами, то вы сравниваете шансы банка для текущего размера банка и для текущего размера ставки с шансами на "доезд" вашей дро-руки на следующей карте. если же вы хотите рассчитывать ваши шансы для следующих двух карт, то вам необходимо будет учесть и те деньги, которые вам придется заплатить на терне, а т.к. вероятность угадать, сколько поставит опп на терне - мала, то лучше рассчитывать шансы не для двух, а для одной улицы. единственный случай, когда вы можете рассчитывать свои шансы не для одной карты, а для двух сразу (то есть, применять 2/1, а не 4/1 для флаш-дро), это когда ваш опп или вы идете ва-банк на флопе, потому что тогда уже гарантировано, что больше не будет никаких ставок

* * *

кроме принятия решения о коллировании чужих ставок с дро-руками, шансы помогут вам в определении размера собственных ставок «для защиты» готовых рук: если вы считаете, что ваш опп пытается натянуть флаш, а у вас лучшая рука, то вы должны ставить достаточно много, чтобы дать ему плохие шансы банка на колл. и опять же, даже если ваш опп "доедет" и вы проиграете данную конкретную руку, вы все равно будете выигрывать деньги на дистанции, а ваш опп будет на дистанции проигрывать их


обратно-потенциальные шансы банка

с помощью шансов банка мы прикидываем, как много мы ожидаем выиграть, если наше дро закроется. а при помощи обратно-потенциальных шансов мы прикидываем, сколько мы ожидаем проиграть, если наше дро закроется, но у оппа при этом все равно окажется лучшая рука

обратно-потенциальные шансы показывают, как много мы ожидаем проиграть, если даже довезем свои дрова

когда у вас на руках дро, вы считаете свои пот-оддсы, чтобы узнать, будет ли ваш колл плюсовым решением на дистанции. если вдруг окажется, что пот-оддсов не будет хватать для плюсового колла, вы можете посмотреть - возможно у вас будут потенциальные шансы для того, чтобы все же сделать ваш колл плюсовым. теперь, если вы полагаете, что у вас потенциальных шансов банка хватает, чтобы заколлировать, то вам также следует прикинуть и ваши обратно-потенциальные шансы, чтобы убедиться, что вам действительно все еще стоит коллировать

хоть это и выглядит очень сложно на первый взгляд, на самом деле это не так уж трудно для понимания

вам будет встречаться очень много ситуаций, где следует быть осторожными со своими обратно-потенциальными шансами

пример:

предположим, вы получили бет на флопе от оппа в мультипоте с рукой 67, а на доске 58Т. ага - теперь вы находитесь в ситуации, в которой вам необходимо учитывать ваши обратно-потенциальные шансы

если один игрок поставит, а второй просто заколлирует, то вы должны будете задуматься, а будет ли ваша рука лучшей, если ваше дро все же срастется

в данной ситуации мы имеем дело с обратно-потенциальными шансами банка, поскольку если нам закроются наши дрова, то существует вероятность, что опп при этом получит руку лучше нашей. т.о., если мы получим страйт, а у оппа при этом окажется флаш, то мы проиграем ему деньги, коллируя его ставки со второй по силе рукой

если у нас не будет достаточных пот-оддсов, чтобы заколлировать бет первоначального рейзера, то мы вынуждены будем скидывать, поскольку обратно-потенциальные шансы будут перевешивать любые наши потенциальные шансы. на дистанции такой фолд будет экономить наши деньги, поскольку натягивание таких дров зачастую будет заканчиваться очень плачевно для стэка

другие примеры:

если у нас будет слабое флаш-дро, то существует вероятность, что опп при этом может тянуть старшее флаш-дро. поэтому нам следует быть очень осторожными, коллируя руки типа 78 на доске 25К, так как наш флаш далеко не самый сильный

то же самое касается и страйт-дро, когда мы будем пытаться натягивать нижний страйт

если у нас будет страйт-дро или флаш-дро на спаренной доске, то есть вероятность, что у оппа есть или появится фулл

короче говоря, обратно-потенциальные шансы банка надо считать для следующих рук:

математика обратно-потенциальных шансов

обратно-потенциальные шансы возрастают, когда возрастает вероятность, что наша рука не будет лучшей, после того как мы закроем свои дрова. и наоборот, обратно-потенциальные шансы будут уменьшаться, если вероятность того, что у нас окажется лучшая рука после закрытия наших дров, будет расти

мы можем коллировать в случаях с большими обратно-потенциальными шансами тогда, когда у нас будут хорошие прямые шансы банка. но если у нас будут и плохие шансы банка и большие обратно-потенциальные шансы, то нам придется рассмотреть вариант фолда

обратно-потенциальные шансы банка считаются не для того, чтобы напугать вас при вытягивании своих дров, а для того, чтобы вы понимали, что можете потерять деньги, если будет тянуть слабые дрова в неподходящих для этого ситуациях. если в банке против вас будет несколько оппов, то вам следует убедиться, что ваше дро будет достаточно сильным, чтобы противостоять другим игрокам

поэтому, если у вас на флопе будет к примеру, 9-хай флаш-дро, и перед вами будет несколько коллеров, то вам следует подумать, будет ли ваше дро достаточно сильным, чтобы коллировать - ведь есть вероятность, что у кого-то из ваших оппов может оказаться флаш-дро старше


ошибки применения математики

в ходе всех этих расчетов часто совершаются несколько ошибок. вот три наиболее распространенных:

  1. ошибки в расчете шансов дро-рук
  2. ошибки в расчете шансов в процентном виде
  3. непонимание разницы между отношениями и вероятностями

ошибки в расчете шансов дро-рук

распространенная ошибка, это неправильное определение вероятностей дро-рук. игроки смотрят вероятности закрытия таких дро, как флаши и страйты, с учетом выхода двух карт. в то время как эти цифры и будут являться правильными, они все же не принесут вам профита, если вы будете использовать их, коллируя свои дрова на флопе в надежде закрыть их на терне

большинство чартов с вероятностями различных дро составлены с учетом выхода двух карт – и терна, и ривера. например, вероятность закрытия флаш-дро с учетом двух карт составляет примерно 2/1, однако если мы будем использовать эти шансы при принятии решения, коллировать ли нам флоп в надежде закрыться на терне, то мы как бы отрицаем тот факт, что мы можем получить еще одну ставку от оппа на терне

когда вы смотрите вероятности закрытия того или иного дро, выбирайте те, которые справедливы лишь для выхода одной следующей карты, если вы в данный момент находитесь на флопе - не надо использовать вероятности с учетом двух карт (если опп не пошел ва-банк на флопе)

ставка оппа на терне будет не так уж и маловероятна, поэтому ваши шансы будут серьезно ухудшены тем фактом, что вам придется заколлировать две весомые ставки, вместо одной на флопе. поэтому, вместо того чтобы использовать вероятности закрытия дро-рук на ривере, вы должны использовать лишь вероятности закрытия их со следующей картой

что касается флаш-дро, то вероятность его закрытия со следующей картой составляет 4/1. поэтому если мы находимся на флопе, то:

пример неправильного использования шансов в виде отношений

мы находимся на флопе с флаш-дро, и наш опп ставит $40, делая банк равным $120. мы получаем шансы банка 3:1. если мы будем использовать вероятность закрытия нашего флаша 2:1, то наш колл будет выглядеть вполне прибыльным решением. мы коллируем, но наше дро на терне не закрывается, и теперь опп ставит $80 в банк $160, и мы снова получаем шансы банка 3:1

тот факт, что опп поставил снова на терне, уменьшает наши пот-оддсы настолько, что наш колл на флопе становится невыгодным. все потому что, если мы сейчас заколлируем и на терне, то фактически получается, что мы заплатили $120 в банк $200, что меняет наши шансы банка до 1.7:1

получается что, используя неправильные шансы 2:1 на флопе, мы делаем и колл не по шансам на флопе, что приведет к потере денег на дистанции. но если бы мы использовали вместо этого шансы закрытия нашего дро лишь со следующей картой (а именно 4:1), то мы бы могли сфолдить уже на флопе, понимая, что коллировать нам невыгодно, и сохранили бы свои деньги

ошибки в расчете шансов в процентном виде

некоторые предпочитают использовать процентный метод шансов банка для принятия решения о том, стоит ли коллировать ту или иную ставку, вместо метода отношений. но и здесь игроки зачастую совершают ошибки, особенно если до этого привыкли работать с методом отношений

самая распространенная ошибка состоит в том, что люди не добавляют к конечному размеру пота свой собственный колл, когда рассчитывают шансы банка процентным методом. в методе отношений это то, что вы наоборот не должны делать, но в процентном методе вы не должны забывать об этом

всегда прибавляйте к размеру конечного банка сумму своего собственного колла, если рассчитываете шансы банка в процентном виде

пример неправильного использования шансов в процентом виде

ваш опп ставит $40 в банк $80, конечный размер банка (с учетом ставки оппа и вашего колла) будет равен $160

ваш колл в $40 будет составлять 25% от общего банка $160. и теперь вы можете использовать эти 25%, сравнивая их с вероятностью закрытия вашего дро, чтобы определить, стоит ли коллировать вам эту ставку. это правильный способ определения шансов банка

ошибка возникает, когда игроки не добавляют свой собственный колл к общему размеру пота, то есть в данном примере вместо конечного пота в $160, они используют $120, забывая добавить в него свои $40. и поэтому, они высчитывают процентную долю $40 в банке $120, и получают 33%. а это существенно отличается от полученных ранее 25%, и это будет серьезно влиять на плюсовость или минусовость принимаемых вами решений

непонимание разницы между отношениями и вероятностями

не смешивайте отношения и вероятности при принятии решений с дро-руками в покере. например, шансы 1 из 4 на закрытие дро будут отличаться от отношения 4 к 1

отношение и вероятность – это два разных понятия
отношение 4:1 – это не то же самое, что вероятность 1 из 4

при шансах 1 из 4 на четыре попытки, вы ожидаете 1 раз получить нужный результат и 3 раза – ненужный. в то время как при отношении 4:1 всего будет 5 попыток, где вы ожидаете получить нужный результат 1 раз, а ненужный – 4 раза

чтобы определить общее число попыток, вы должны суммировать оба числа отношения. а в случае с вероятностью, общее число попыток дано изначально. ниже приведена таблица, чтобы вам легче было понять разницу

Желаемемый исходНежелаемый исходКол-во попыток
4 к  1145
1 из 4134